《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [多选题]下列求导运算正确的有(BCD)

A.$\left(\sin \frac{\pi}{8}\right)' = \cos \frac{\pi}{8}$
B.$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
C.$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$
D.$(\log_a x)' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{1}{x \ln a}$

答案： 1.BCD 解析：在A中，$(\sin \frac {\pi}{8})=0,$故A错误；
在B中，$(\sqrt {x})'=(x^{\frac {1}{2}})'=\frac {1}{2} × x^{-\frac {1}{2}}=\frac {1}{2\sqrt {x}},$故B正确；
在C中，$(x^a)'=ax^{a - 1},$故C正确；
在D中，$(\log_a x)'=(\frac {\ln x}{\ln a})=\frac {1}{x\ln a},$故D正确.
故选BCD.

2. 对任意的$x$,有$f'(x) = 4x^3$,$f(1) = -1$,则函数$f(x)$的解析式为(B)

A.$f(x)=x^3$
B.$f(x)=x^4 - 2$
C.$f(x)=x^3 + 1$
D.$f(x)=x^4 - 1$

答案： 2.B 解析：由$f'(x)=4x^3$知f(x)中含有$x^4$项，然后将x = 1代入选项中验证可得$f(x)=x^4 - 2.$故选B.

3. 已知函数$f_1(x) = \sin x$,$f_{n+1}(x) = f_n'(x)$,那么$f_{2024}\left(\frac{\pi}{6}\right) = ($　　)

A.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 3.A 解析：因为$f_1(x)=\sin x,f_{n + 1}(x)=f_n'(x)，$
所以$f_2(x)=\cos x,f_3(x)=-\sin x,f_4(x)=-\cos x，$
$f_5(x)=\sin x,$所以f_n(x)的周期为4.
因为2024 = 4×506，
所以$f_{2024}(x)=f_4(x)=-\cos x，$
所以$f_{2024}(\frac {\pi}{6})=-\cos \frac {\pi}{6}=-\frac {\sqrt {3}}{2}$
解题关键
方法总结
求函数在给定点处的导数的一般步骤
(1)利用求导公式和导数的运算法则求导函数；
(2)将自变量的值代入导函数的解析式中，即可求得函数在该点处的导数值.

4. [教材75页练习1题]求下列函数的导数.
(1)$y = \frac{1}{x^3}$;
(2)$y = x\sqrt{x}$;
(3)$y = 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.

答案： 4.解：$(1)\because y=\frac {1}{x^3}=x^{-3},\therefore y'=-3x^{-4}=-\frac {3}{x^4}$
$(2)\because y=x\sqrt {x}=x^{\frac {3}{2}},\therefore y'=\frac {3}{2}x^{\frac {1}{2}}=\frac {3}{2}\sqrt {x}$
$(3)\because y=2\sin \frac {x}{2}\cos \frac {x}{2}=\sin x,\therefore y'=\cos x.$

5. 曲线$y = \frac{1}{3}x^3$在点$\left(1, \frac{1}{3}\right)$处的切线与直线$x + y - 3 = 0$的夹角为(C)

A.$45°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$

答案： 5.C 解析：$\because y'=x^2,\therefore y'$|$_{x = 1}=1，$
$\therefore $在点$(1,\frac {1}{3})$处的切线的斜率为1.
$\because $已知直线的斜率为$ - 1,\therefore$两直线垂直，
$\therefore$两直线的夹角为90°.

6. 设函数$f(x) = x^3 + (a - 1)x^2 + ax$,若$f(x)$为奇函数,则曲线$y = f(x)$在点$(0,0)$处的切线方程为(D)

A.$y = -2x$
B.$y = -x$
C.$y = 2x$
D.$y = x$

答案： 6.D 解析：$\because$函数$f(x)=x^3+(a - 1)x^2+ax$为奇函数，
$\therefore a = 1,\therefore f'(x)=3x^2 + 1,\therefore f'(0)=1，$
$\therefore$曲线y = f(x)在点(0,0)处的切线方程为y = x.

7. [2023广东梅州高二期末]已知直线$l$过坐标原点且与曲线$y = e^x$相切,则$l$的方程为y = ex.

答案： 7.y = ex 解析：设切点坐标为$(x_0,e^{x_0}).$
由y = e^x,得y' = e^x,则y'|$_{x = x_0}=e^{x_0}，$
所以切线方程为$y - e^{x_0}=e^{x_0}(x - x_0).$
因为切线过原点，所以$ - e^{x_0}=e^{x_0}· (-x_0)，$
解得$x_0 = 1.$
所以切线方程为y = ex.

8. 已知抛物线$y = x^2$,直线$x - y - 2 = 0$,则抛物线上的点到直线的最短距离为$\frac {7\sqrt {2}}{8}$.

答案： $8.\frac {7\sqrt {2}}{8} $解析：根据题意可知，与直线x - y - 2 = 0平行的抛物线$y = x^2$的切线对应的切点到直线x - y - 2 = 0的距离最短.
设切点坐标为$(x_0,x_0^2),$则y'|$_{x = x_0}=2x_0 = 1，$
所以$x_0=\frac {1}{2},$所以切点坐标为$(\frac {1}{2},\frac {1}{4})$
因为切点到直线x - y - 2 = 0的距离$d=\frac {|\frac {1}{2}-\frac {1}{4}-2|}{\sqrt {2}}=\frac {7\sqrt {2}}{8}，$所以抛物线上的点到直线x - y - 2 = 0的最短距离为$\frac {7\sqrt {2}}{8}.$

9. 已知$f(x) = a^2$($a$为常数),$g(x) = \ln x$,若$2x[f'(x) + 1] - g'(x) = 1$,则$x =$1.

答案： 9.1 解析：因为$f'(x)=0,g'(x)=\frac {1}{x}(x＞0)，$
所以$2x[f'(x)+1]-g'(x)=2x-\frac {1}{x}=1，$
解得x = 1或$x = -\frac {1}{2}.$
因为x＞0,所以x = 1.

10. [2024北京高二检测]已知函数$f(x) = \ln x + a$($a ＞ 0$),函数$g(x) = e^x$.
(1)若曲线$f(x)$在$x = 1$处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为$\frac{1}{2}$,求实数$a$的值;
(2)若直线$y = kx$与曲线$f(x)$,$g(x)$都相切,求实数$a$的值.

答案： 10.解：
(1)由已知得$f'(x)=\frac {1}{x},$则f'
(1)=1，
又f
(1)=a，
所以曲线f(x)在x = 1处的切线方程为y = x + a - 1.
当x = 0时,y = a - 1,当y = 0时,x = 1 - a，
则$\frac {1}{2}× $|a - 1|× |1 - a|$=\frac {1}{2}，$
又a＞0,所以a = 2.
(2)由已知得g'(x)=e^x.
因为直线y = kx与曲线f(x),g(x)都相切，所以k＞0.
设直线y = kx与曲线f(x),g(x)相切的切点分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),$则$\frac {1}{x_1}=k,e^{x_2}=k,$所以$x_1=\frac {1}{k},x_2=\ln k，$
可得直线y = kx与曲线f(x),g(x)相切的切点分别为$(\frac {1}{k},1),(\ln k,k\ln k).$
又切点在直线y = kx上，所以$\begin{cases} \ln \frac {1}{k}+a = 1, \\ e^{\ln k}=k\ln k, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = e, \\ a = 2, \end{cases}$
所以实数a的值为2.

11. 已知$f(x) = \sin x$,则$f'(a) =$$\cos a$;$[f(a)]' =$0.

答案： $11.\cos a0 $解析：因为$f'(x)=(\sin x)'=\cos x，$
所以$f'(a)=\cos a.$
因为[f(a)]'表示函数f(x)在x = a时的函数值$f(a)=\sin a($常数)的导数，所以[f(a)]'=0.
易错警示
f'(a)是函数在x = a时的导数，而f(a)是个常数，
故[f(a)]'=0