《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. $[2024 江苏 连云港高二检测]$ 风雨桥(如图①所示)是侗族最具特色的民间建筑之一. 风雨桥由桥、塔、亭组成. 其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形. 图②是某风雨桥亭的大致俯视图,其中正六边形的边长的计算方法如下:$A_1B_1 = A_0B_0 - B_0B_1$, $A_1B_2 = A_1B_1 - B_1B_2, ·s$, $A_nB_n = A_{n - 1}B_{n - 1} - B_{n - 1}B_n$, 其中$B_0B_4 = B_1B_3 = B_2B_3 = B_3B_1$, $B_4B_4 = B_1B_1$, $n \in \mathbf{N}^*$.
已知该风雨桥亭共 5 层, 若$A_0B_0 = 8 m$, $B_0B_1 = 0.5 m$, 则图②中的五个正六边形的周长总和为(B)

　　　　　　

A.$120 m$
B.$210 m$
C.$130 m$
D.$310 m$

答案： 1.B 解析：由已知$A_{n}B_{n}=A_{n - 1}B_{n - 1}-B_{n - 1}B_{n}(n\leq4$且$n\in$
$N^{*})$，$B_{1}B_{4}=B_{2}B_{3}=B_{3}B_{2}=B_{4}B_{1}=0.5 m$，易知题图②中
五个正六边形的边长(单位：$ m$)构成以$a_{1}=8$为首项，$d$
$=-0.5$为公差的等差数列$\{a_{k}\}$．
则数列$\{a_{k}\}(k\in\mathbf{N}^{*},1\leq k\leq5)$的前$5$项和$S_{5}=5a_{1}+$
$\frac{1}{2}×5×4× d = 5×8-\frac{1}{2}×5×4×0.5 = 35$，所以题图②
中的五个正六边形的周长总和为$6S_{5}=6×35 = 210( m)$．

2. [多选题] 某集团公司有以下属企业$A$从事一种高科技产品的生产. $A$企业第一年年初有资金$2000$万元, 将其投入生产, 到当年年底资金增长了$40\%$, 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同. 集团公司要求$A$企业从第一年开始, 每年年底上缴资金$t$万元($t＜800$), 并将剩余资金全部投入下一年生产. 设第$n$年年底$A$企业上缴资金后的剩余资金为$a_n$万元, 则(BC)

A.$a_2 = 2800 - t$
B.$a_{n + 1} = \frac{7}{5} a_n - t$
C.$a_{n + 1} ＞ a_n$
D.当$t = 400$时, $a_3 ＞ 3800$

答案： 2.BC 解析：第一年年底的剩余资金为$a_{1}=2000×$
$(1 + 40\%)-t = 2800-t$，第二年年底的剩余资金为$a_{2}=$
$a_{1}×(1 + 40\%)-t=\frac{7}{5}a_{1}-t = 3920-\frac{12}{5}t$，故A错误；
第三年年底的剩余资金为$a_{3}=a_{2}×(1 + 40\%)-t=\frac{7}{5}a_{2}-$
$t = 5488-\frac{109}{25}t$，$·s$，所以第$(n + 1)$年年底的剩余资
金为$a_{n + 1}=a_{n}×(1 + 40\%)-t=\frac{7}{5}a_{n}-t$，故B正确；
由$a_{n + 1}=\frac{7}{5}a_{n}-t$，得$a_{n + 1}-\frac{5}{2}t=\frac{7}{5}(a_{n}-\frac{5}{2}t)$，所以
$a_{n + 1}-\frac{5}{2}t$
$a_{n}-\frac{5}{2}t$
$=\frac{7}{5}$．又$a_{1}-\frac{5}{2}t = 2800-\frac{7}{2}t$，故$\{a_{n}-\frac{5}{2}t\}$是
首项为$2800-\frac{7}{2}t$，公比为$\frac{7}{5}$的等比数列，所以$a_{n}-\frac{5}{2}t$
$=(2800-\frac{7}{2}t)·(\frac{7}{5})^{n - 1}$，所以$a_{n}=(\frac{7}{5})^{n - 1}(2800-\frac{7}{2}t)+$
$\frac{5}{2}t$．因为$t\lt800$，所以$2800-\frac{7}{2}t\gt0$，所以数列$\{a_{n}\}$递
增，即$a_{n + 1}\gt a_{n}$，故C正确；
当$t = 400$时，$a_{3}=5488-\frac{109}{25}t = 5488-\frac{109×400}{25}=$
$3744\lt3800$，故D错误．

3. $[ 宿州二中 高二检测 2024 安徽]$ 已知数列$\{ a_n \}$为等差数列, 且$3^n$, $3$, $3^{a_n}$成等比数列, 则$a_4$为(A)

A.$1$
B.$\frac{21}{2}$
C.$15$
D.$3$

答案： 3.A 解析：因为$3^{a_{4}}$，$3$，$3^{a_{6}}$成等比数列，所以$3^{a_{4}}·3^{a_{6}} = 3^{2}$，
所以$a_{4}+a_{6}=2$．又$\{a_{n}\}$为等差数列，所以$a_{4}+a_{6}=2a_{5}=$
$2$，得$a_{5}=1$．

4. $[2024 河南 洛阳高二检测]$ 等差数列$\{ a_n \}$的公差为$-2$, 且$a_1$, $a_3$, $a_4$成等比数列, 则$a_{20} =$-30.

答案： 4.$-30$ 解析：$\because$等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$-2$，且$a_{1}$，$a_{3}$，$a_{4}$
成等比数列，$\therefore(a_{4}-4)^{2}=a_{1}·(a_{4}-6)$，解得$a_{1}=8$．
$\therefore a_{20}=a_{1}+19d = 8 - 38=-30$．

5. 设各项均为正数的数列$\{ a_n \}$和$\{ b_n \}$满足:$a_n$, $b_n$, $a_{n + 1}$成等差数列, $b_n$, $a_{n + 1}$, $b_{n + 1}$成等比数列, 且$a_1 = 1$, $b_1 = 2$, $a_2 = 3$. 求$a_n$, $b_n$.

答案： 5.解：因为$a_{n}$，$b_{n}$，$a_{n + 1}$成等差数列，所以$2b_{n}=a_{n}+a_{n + 1}$ ①．
因为$b_{n}$，$a_{n + 1}$，$b_{n + 1}$成等比数列，所以$a_{n + 1}^{2}=b_{n}b_{n + 1}$ ②．
因为$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$为各项均为正数的数列，故由②得$a_{n + 1}=\sqrt{b_{n}b_{n + 1}}$，$a_{n}=\sqrt{b_{n - 1}b_{n}}$，代入①，得$2b_{n}=\sqrt{b_{n - 1}b_{n}}+\sqrt{b_{n}b_{n + 1}}$．
两边同除以$\sqrt{b_{n}}$，得$2\sqrt{b_{n}}=\sqrt{b_{n - 1}}+\sqrt{b_{n + 1}}(n\geq$
$2)$，所以$\{\sqrt{b_{n}}\}$为等差数列．由$a_{1}^{2}=b_{1}b_{2}$，得$b_{2}=\frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}=$
$\frac{9}{2}$．所以$\{\sqrt{b_{n}}\}$的公差为$d=\sqrt{b_{2}}-\sqrt{b_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以$b_{n}=\frac{1}{2}(n + 1)^{2}$，所以$b_{n - 1}=\frac{1}{2}n^{2}$．
所以$a_{n}^{2}=b_{n - 1}b_{n}=\frac{1}{2}n^{2}·\frac{1}{2}(n + 1)^{2}(n\geq2)$，
所以$a_{n}=\frac{1}{2}n(n + 1)(n\geq2)$，
又$a_{1}=1$满足上式，所以$a_{n}=\frac{1}{2}n(n + 1)$．
综上所述，$a_{n}=\frac{1}{2}n(n + 1)$，$b_{n}=\frac{1}{2}(n + 1)^{2}$．

6. 在等差数列$\{ a_n \}$中, 若$a_5$, $a_7$是方程$x^2 - 2x - 6 = 0$的两根, 则$\{ a_n \}$的前$11$项的和为(D)

A.$22$
B.$-33$
C.$-11$
D.$11$

答案： 6.D 解析：$\because$在等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{5}$，$a_{7}$是方程$x^{2}-2x - 6$
$=0$的两根，$\therefore a_{5}+a_{7}=2$，
$\therefore a_{6}=\frac{1}{2}(a_{5}+a_{7}) = 1$，$\therefore\{a_{n}\}$的前$11$项的和为$S_{11}=$
$\frac{11×(a_{1}+a_{11})}{2}=11a_{6}=11×1 = 11$．

7. 在等比数列$\{ a_n \}$中, $a_4$, $a_{12}$是方程$x^2 + 3x + 1 = 0$的两根, 则$a_8 =$ (B)

A.$1$
B.$-1$
C.$\pm 1$
D.$\pm 3$

答案： 7.B 解析：设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$．
$\because a_{4}$，$a_{12}$是方程$x^{2}+3x + 1 = 0$的两根，
$\therefore a_{4}a_{12}=1$，$a_{4}+a_{12}=-3$，$\therefore a_{4}\lt0$，$a_{12}\lt0$，且$a_{8}^{2}=a_{4}a_{12}=1$，$\therefore a_{8}=\pm1$．
又$\because$在等比数列$\{a_{n}\}$中偶数项同号，$\therefore a_{8}=-1$．