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2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
7.[2024 福建莆田高二检测]若一数列为$1,3^{7},3^{14},3^{21},·s$，则$3^{98}$与此数列的关系是(
A.不在此数列中
B.第 13 项
C.第 14 项
D.第 15 项
D
)A.不在此数列中
B.第 13 项
C.第 14 项
D.第 15 项
答案：
7.D 解析：由于$1=3^{7 × 0},3^{7}=3^{7 × 1},3^{14}=3^{7 × 2},3^{21}=3^{7 × 3}$，因此该数列的一个通项公式为$a_{n}=3^{7(n - 1)}$.由$3^{7(n - 1)}=3^{98}$，得$n = 15$，所以$3^{98}$是这个数列的第15项.
8.[数学文化]《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”(又称“物不知数题”)，后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被 4 除余 1 且被 6 除余 3 的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第 10 项为(
A.69
B.93
C.117
D.141
C
)A.69
B.93
C.117
D.141
答案：
8.C 解析：被4除余1的正整数为$4m + 1(m \in \mathbf{N})$，被6除余3的正整数为$6t + 3(t \in \mathbf{N})$，被4除余1且被6除余3的最小的正整数是9，则被4除余1且被6除余3的正整数可表示为$12k + 9(k \in \mathbf{N})$，即该数列的通项公式为$a_{n}=12n - 3(n \in \mathbf{N}^*)$，所以$a_{10}=117$.
9. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = 3n^{2} - 28n$.
(1)写出数列的第 4 项和第 6 项.
(2)$- 49$是不是该数列的一项？如果是，是哪一项？ 68 是不是该数列的一项呢？
(3)数列$\{ a_{n}\}$中有多少个负数项？
(1)写出数列的第 4 项和第 6 项.
(2)$- 49$是不是该数列的一项？如果是，是哪一项？ 68 是不是该数列的一项呢？
(3)数列$\{ a_{n}\}$中有多少个负数项？
答案：
9.解：
(1)$a_{4}=3 × 16 - 28 × 4=-64,a_{6}=3 × 36 - 28 × 6=-60$.
(2)令$3n^{2}-28n=-49$，解得$n = 7$或$n=\frac{7}{3}$(舍去)，
数列中的$n$为正整数.
所以$n = 7$，即-49是该数列的第7项.
令$3n^{2}-28n=0$，结合$n \in \mathbf{N}^*$，解得$n = 1,2,3,4,5,6,7,8,9$，即数列$\{a_{n}\}$中有9个负数项.
方法总结
求项或判断某数是不是数列的项的方法
1.如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项.
2.判断某数是不是数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出$n$的值.若求出的$n$为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项.
(1)$a_{4}=3 × 16 - 28 × 4=-64,a_{6}=3 × 36 - 28 × 6=-60$.
(2)令$3n^{2}-28n=-49$，解得$n = 7$或$n=\frac{7}{3}$(舍去)，
数列中的$n$为正整数.
所以$n = 7$，即-49是该数列的第7项.
令$3n^{2}-28n=0$，结合$n \in \mathbf{N}^*$，解得$n = 1,2,3,4,5,6,7,8,9$，即数列$\{a_{n}\}$中有9个负数项.
方法总结
求项或判断某数是不是数列的项的方法
1.如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项.
2.判断某数是不是数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出$n$的值.若求出的$n$为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项.
10.[多选题][2024 山东实验中学高二检测]由下列通项公式，可以判定数列$\{ a_{n}\}$是递增数列的有(
A.$a_{n} = n^{2} - 3n + 1$
B.$a_{n} = - {(\frac{1}{2})}^{n}$
C.$a_{n} = n + \frac{2}{n}$
D.$a_{n} = \ln\frac{n}{n + 1}$
BD
)A.$a_{n} = n^{2} - 3n + 1$
B.$a_{n} = - {(\frac{1}{2})}^{n}$
C.$a_{n} = n + \frac{2}{n}$
D.$a_{n} = \ln\frac{n}{n + 1}$
答案：
10.BD 解析：对于选项A，$a_{n + 1}-a_{n}=(n + 1)^{2}-3(n + 1)+1 -n^{2}+3n -1=2n -2 \geqslant 0$，其中$a_{2}-a_{1}=0$.故此数列不是递增数列；
对于选项B，$a_{n + 1}-a_{n}=-\left(\frac{1}{2}\right)^{n + 1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n + 1}＞0$，故此数列是递增数列；
对于选项C，$a_{n + 1}-a_{n}=n + 1+\frac{2}{n + 1}-n-\frac{2}{n}=\frac{(n + 2)(n - 1)}{n(n + 1)}$，其中$a_{2}-a_{1}=0$，故此数列不是递增数列；
对于选项D，$a_{n + 1}-a_{n}=\ln\frac{n + 1}{n + 2}-\ln\frac{n}{n + 1}=\ln\left(\frac{n + 1}{n + 2}·\frac{n + 1}{n}\right)=\ln\left(1+\frac{1}{n^{2}+2n}\right)＞1 + \frac{1}{n^{2}+2n}＞0$，故此数列是递增数列.
方法总结
判断数列的单调性的方法
1.作差法
数列$\{a_{n}\}$是递增数列$\Leftrightarrow a_{n + 1}-a_{n}＞0$；数列$\{a_{n}\}$是递减数列$\Leftrightarrow a_{n + 1}-a_{n}＜0$.
2.作商法
数列$\{a_{n}\}$各项都是正数，则数列$\{a_{n}\}$是递增数列$\Leftrightarrow\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}＞1$；数列$\{a_{n}\}$是递减数列$\Leftrightarrow0＜\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}＜1$.
3.函数法
设$a_{n}=f(n),n \in \mathbf{N}^*$，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则数列$\{a_{n}\}$是递增数列；若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，则数列$\{a_{n}\}$是递减数列.
对于选项B，$a_{n + 1}-a_{n}=-\left(\frac{1}{2}\right)^{n + 1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n + 1}＞0$，故此数列是递增数列；
对于选项C，$a_{n + 1}-a_{n}=n + 1+\frac{2}{n + 1}-n-\frac{2}{n}=\frac{(n + 2)(n - 1)}{n(n + 1)}$，其中$a_{2}-a_{1}=0$，故此数列不是递增数列；
对于选项D，$a_{n + 1}-a_{n}=\ln\frac{n + 1}{n + 2}-\ln\frac{n}{n + 1}=\ln\left(\frac{n + 1}{n + 2}·\frac{n + 1}{n}\right)=\ln\left(1+\frac{1}{n^{2}+2n}\right)＞1 + \frac{1}{n^{2}+2n}＞0$，故此数列是递增数列.
方法总结
判断数列的单调性的方法
1.作差法
数列$\{a_{n}\}$是递增数列$\Leftrightarrow a_{n + 1}-a_{n}＞0$；数列$\{a_{n}\}$是递减数列$\Leftrightarrow a_{n + 1}-a_{n}＜0$.
2.作商法
数列$\{a_{n}\}$各项都是正数，则数列$\{a_{n}\}$是递增数列$\Leftrightarrow\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}＞1$；数列$\{a_{n}\}$是递减数列$\Leftrightarrow0＜\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}＜1$.
3.函数法
设$a_{n}=f(n),n \in \mathbf{N}^*$，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则数列$\{a_{n}\}$是递增数列；若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，则数列$\{a_{n}\}$是递减数列.
11. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式是$a_{n} = \frac{n - 1}{n + 1}$，那么这个数列是(
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
A
)A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
答案：
11.A 解析：$a_{n}=\frac{n - 1}{n + 1}=1-\frac{2}{n + 1}$，分离常数.
当$n \geqslant 2$时，$a_{n}-a_{n - 1}=1-\frac{2}{n + 1}-\left(1-\frac{2}{n}\right)=\frac{2}{n}-\frac{2}{n + 1}=\frac{2}{n(n + 1)}＞0$，
所以数列$\{a_{n}\}$是递增数列.
方法总结
本题先分离常数，再作差比较更为简单.
当$n \geqslant 2$时，$a_{n}-a_{n - 1}=1-\frac{2}{n + 1}-\left(1-\frac{2}{n}\right)=\frac{2}{n}-\frac{2}{n + 1}=\frac{2}{n(n + 1)}＞0$，
所以数列$\{a_{n}\}$是递增数列.
方法总结
本题先分离常数，再作差比较更为简单.
12.[2024 吉林辽源高二检测]已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n} = \begin{cases}(3 - a)n - 2,n \leq 6, \\a^{n - 5},n ＞ 6,\end{cases}$且$\{ a_{n}\}$是递增数列，则实数$a$的取值范围是( )
A.$(\frac{16}{7},3)$
B.$\lbrack\frac{16}{7},3)$
C.$(1,3)$
D.$(2,3)$
A.$(\frac{16}{7},3)$
B.$\lbrack\frac{16}{7},3)$
C.$(1,3)$
D.$(2,3)$
答案：
12.D 解析：若$\{a_{n}\}$是递增数列，则$\begin{cases}3 - a＞0,\\a＞1,\\a_{7}＞a_{6},\end{cases}$
分离常数.
解得$2＜a＜3$，
$a^{2}＞6(3 - a)-2$，
故实数$a$的取值范围是$(2,3)$.
分离常数是关键点.
分离常数.
解得$2＜a＜3$，
$a^{2}＞6(3 - a)-2$，
故实数$a$的取值范围是$(2,3)$.
分离常数是关键点.
13. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = \frac{n - 3}{2n - 17}$，则$a_{n}$的最大值为
6
.
答案：
13.6 解析：$a_{n}=\frac{1}{2}·\frac{2n - 6}{2n - 17}=\frac{1}{2}·\frac{2n - 17 + 11}{2n - 17}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{11}{2n - 17}\right)$，所以当$1 \leqslant n \leqslant 8$时，$\{a_{n}\}$单调递减，当$n \geqslant 9$时，$\{a_{n}\}$单调递减.
又$a_{9}=\frac{2}{15}＜a_{9}=6$，
所以$a_{n}$的最大值为$a_{9}=6$.
又$a_{9}=\frac{2}{15}＜a_{9}=6$，
所以$a_{n}$的最大值为$a_{9}=6$.
14.[2024 江苏常州高级中学高二检测]已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = \frac{n - \sqrt{82}}{n - \sqrt{83}}(n \in \mathbf{N}^{*})$，则在数列$\{ a_{n}\}$的前 50 项中最大项是第
10
项.
答案：
14.10 解析：$a_{n}=\frac{n - \sqrt{82}}{n - \sqrt{83}}=1+\frac{\sqrt{83}-\sqrt{82}}{n - \sqrt{83}}$，故当$n＜\sqrt{83}$时，$a_{n}＜1$，且数列$\{a_{n}\}$是递减数列；当$n＞\sqrt{83}$时，$a_{n}＞1$，且数列$\{a_{n}\}$是递减数列.故$\{a_{n}\}$的前50项中最大项是第10项.
15. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = n^{2} - 7n - 8$，判断数列$\{ a_{n}\}$是否有最小项.若有，求出其最小项.
答案：
15.解：(方法1)有.由$a_{n}=\left(n - \frac{7}{2}\right)^{2}-\frac{81}{4}$，可知其对应的二次函数$y = x^{2}-7x - 8$的图象的对称轴为直线$x=\frac{7}{2}$，数列是一类特殊的函数(定义域是正整数集或它的有限子集).
所以当$1 \leqslant x \leqslant 3$时，函数单调递减；当$x \geqslant 4$时，函数单调递增.
所以数列$\{a_{n}\}$有最小项.
又$a_{3}=a_{4}=-20$，所以数列$\{a_{n}\}$的最小项为$a_{3}$和$a_{4}$，且$a_{3}=a_{4}=-20$.
(方法2)有.
假设$a_{n}$为最小项，则有$\begin{cases}a_{n} \leqslant a_{n + 1},\\a_{n} \leqslant a_{n - 1},\end{cases}$即$\begin{cases}n^{2}-7n - 8 \leqslant (n + 1)^{2}-7(n + 1)-8,\\n^{2}-7n - 8 \leqslant (n - 1)^{2}-7(n - 1)-8,\end{cases}$解得$3 \leqslant n \leqslant 4$.
又$n \in \mathbf{N}^*$，故当$n = 3$或$n = 4$时，$a_{n}$有最小值，且最小值为$3^{2}-7 × 3 - 8=-20$.
◇◇易错警示◇◇
1.忽视了借助二次函数求最值，而认为当$n = 1$时取得最小值.
2.由$a_{n}=\left(n - \frac{7}{2}\right)^{2}-\frac{81}{4}$知当$n=\frac{7}{2}$时取得最小值，忽视$n \in \mathbf{N}^*$.
3.在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是$\mathbf{N}^*$(或它的有限子集$\{1,2,3,·s,n\}$)这一约束条件.
所以当$1 \leqslant x \leqslant 3$时，函数单调递减；当$x \geqslant 4$时，函数单调递增.
所以数列$\{a_{n}\}$有最小项.
又$a_{3}=a_{4}=-20$，所以数列$\{a_{n}\}$的最小项为$a_{3}$和$a_{4}$，且$a_{3}=a_{4}=-20$.
(方法2)有.
假设$a_{n}$为最小项，则有$\begin{cases}a_{n} \leqslant a_{n + 1},\\a_{n} \leqslant a_{n - 1},\end{cases}$即$\begin{cases}n^{2}-7n - 8 \leqslant (n + 1)^{2}-7(n + 1)-8,\\n^{2}-7n - 8 \leqslant (n - 1)^{2}-7(n - 1)-8,\end{cases}$解得$3 \leqslant n \leqslant 4$.
又$n \in \mathbf{N}^*$，故当$n = 3$或$n = 4$时，$a_{n}$有最小值，且最小值为$3^{2}-7 × 3 - 8=-20$.
◇◇易错警示◇◇
1.忽视了借助二次函数求最值，而认为当$n = 1$时取得最小值.
2.由$a_{n}=\left(n - \frac{7}{2}\right)^{2}-\frac{81}{4}$知当$n=\frac{7}{2}$时取得最小值，忽视$n \in \mathbf{N}^*$.
3.在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是$\mathbf{N}^*$(或它的有限子集$\{1,2,3,·s,n\}$)这一约束条件.
16.[2024 河南洛阳高二检测]已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = n^{2} - \lambda n(\lambda \in \mathbf{R})$. 若$\{ a_{n}\}$为递增数列，则实数$\lambda$的取值范围是(
A.$( - \infty,3)$
B.$( - \infty,2)$
C.$( - \infty,1)$
D.$( - \infty,0)$
A
)A.$( - \infty,3)$
B.$( - \infty,2)$
C.$( - \infty,1)$
D.$( - \infty,0)$
答案：
16.A 解析：数列$\{a_{n}\}$是递增数列，且数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=n^{2}-\lambda n(\lambda \in \mathbf{R})$，$\therefore a_{n + 1}-a_{n}=(n + 1)^{2}-\lambda(n + 1)-(n^{2}-\lambda n)=2n + 1-\lambda＞0$恒成立.
$\therefore 2n + 1-\lambda$的最小值$2 × 1 + 1-\lambda=3 - \lambda＞0$，$\therefore \lambda＜3$，即实数$\lambda$的取值范围是$(-\infty,3)$.
◇◇易错警示◇◇
由于数列是定义在正整数集或其有限子集上的函数，因此涉及含参数的数列的单调性问题时应根据数列的单调性，将问题转化为$a_{n}＜a_{n + 1}$或$a_{n}＞a_{n + 1}(n \in \mathbf{N}^*)$恒成立的问题.本题的易错之处是容易将数列$\{a_{n}\}$的单调性与函数$f(x)=x^{2}-\lambda x$在$(0,+\infty)$上的单调性混淆，这是因为数列的定义域不是连续的区间，而函数的定义域是连续的区间，所以不能利用$\frac{\lambda}{2} \leqslant 0$求$\lambda$的取值范围.
$\therefore 2n + 1-\lambda$的最小值$2 × 1 + 1-\lambda=3 - \lambda＞0$，$\therefore \lambda＜3$，即实数$\lambda$的取值范围是$(-\infty,3)$.
◇◇易错警示◇◇
由于数列是定义在正整数集或其有限子集上的函数，因此涉及含参数的数列的单调性问题时应根据数列的单调性，将问题转化为$a_{n}＜a_{n + 1}$或$a_{n}＞a_{n + 1}(n \in \mathbf{N}^*)$恒成立的问题.本题的易错之处是容易将数列$\{a_{n}\}$的单调性与函数$f(x)=x^{2}-\lambda x$在$(0,+\infty)$上的单调性混淆，这是因为数列的定义域不是连续的区间，而函数的定义域是连续的区间，所以不能利用$\frac{\lambda}{2} \leqslant 0$求$\lambda$的取值范围.
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