《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

15. $[2024$ 上海建平中学高二检测$]$ 已知数列 $\{ a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$，$a_{n + 1} = \begin{cases} a_{n} + 1(n 为奇数) \\ a_{n} + 2(n 为偶数) \end{cases}$.
(1) 写出数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $4$ 项 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$;
(2) 记 $b_{n} = a_{2n}$，判断数列 $\{ b_{n}\}$ 是不是等差数列，并说明理由；
(3) 求 $\{ a_{n}\}$ 的前 $20$ 项和.

答案： 15.解：
(1)因为数列$\{ a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\begin{cases}a_n+1(n为奇数),\\a_n+2(n为偶数),\end{cases}$
所以$a_1=1$，$a_2=a_1+1=2$，$a_3=a_2+2=4$，$a_4=a_3+1=5$。
(2)是.理由：
由
(1)知$b_1=a_2=2$，
又$b_n-b_{n-1}=a_{2n}-a_{2n-2}=a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-a_{2n-2}=1+2=3$，$n\geq2$，所以数列$\{ b_n\}$是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以$b_n=2+3(n-1)=3n-1$。
(3)由
(2)可得$a_{2n}=3n-1$，$n\in N^*$，
则$a_{2n-1}=a_{2n-2}+2=3(n-1)-1+2=3n-2$，$n\geq2$。
当$n=1$时，$a_1=1$也符合上式，
所以$a_{2n-1}=3n-2$，$n\in N^*$，
所以数列$\{ a_n\}$的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则$\{ a_n\}$的前20项和为$a_1+a_2+·s+a_{20}=(a_1+a_3+·s+a_{19})+(a_2+a_4+·s+a_{20})=10+\frac{10×9}{2}×3+10×2+\frac{10×9}{2}×3=300$。

16. $[2024$ 南京秦淮中学高二检测$]$ 在 $① a_{7} = 1$；$② S_{8} = 48$；$③ a_{8} + a_{9} = - 4$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答.
设等差数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n},S_{4} = 40$，(填序号).
(1) 求数列 $\{ a_{n}\}$ 的通项公式；
(2) 求 $S_{n}$ 的最大值.

答案： 16.解：
(1)选①，设等差数列$\{ a_n\}$的公差为$d$.
由题意得$\begin{cases}a_7=a_1+6d=1,\\S_4=4a_1+6d=40,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1=13,\\d=-2.\end{cases}$
所以数列$\{ a_n\}$的通项公式为$a_n=13+(n-1)·(-2)=-2n+15$。
选②，设等差数列$\{ a_n\}$的公差为$d$.
由题意得$\begin{cases}S_8=8a_1+28d=48,\\S_4=4a_1+6d=40,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1=13,\\d=-2,\end{cases}$
所以数列$\{ a_n\}$的通项公式为$a_n=13+(n-1)·(-2)=-2n+15$。
选③，设等差数列$\{ a_n\}$的公差为$d$.
由题意得$\begin{cases}a_8+a_9=2a_1+15d=-4,\\S_4=4a_1+6d=40,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1=13,\\d=-2,\end{cases}$
所以数列$\{ a_n\}$的通项公式为$a_n=13+(n-1)·(-2)=-2n+15$。
(2)由$a_1=13$，$d=-2$得$S_n=\frac{13+(-2n+15)}{2}× n=-n^2+14n=-(n-7)^2+49$，
所以当$n=7$时，$S_n$取得最大值49.

17. 已知 $S_{n}$ 为数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，$a_{n} ＞ 0,a_{n}^{2} + 2a_{n} = 4S_{n} + 3$，且 $a_{n}b_{n} = 1$.
(1) 求数列 $\{ b_{n}\}$ 的通项公式；
(2) 求满足 $b_{1}b_{2} + b_{2}b_{3} + ·s + b_{n}b_{n + 1} ＜ \frac{1}{7}$ 的 $n$ 的最大值.

答案： 17.解：
(1)由$a_n^2+2a_n=4S_n+3$①得，
当$n=1$时，$a_1^2+2a_1=4S_1+3$，
又$S_1=a_1$，所以$a_1^2-2a_1-3=0$，
解得$a_1=3$或$a_1=-1$。
因为$a_n＞0$，所以$a_1=3$。
当$n\geq2$时，$a_{n-1}^2+2a_{n-1}=4S_{n-1}+3$②，
①-②，整理得$a_n-a_{n-1}=2(n\geq2,n\in N^*)$，
所以数列$\{ a_n\}$是首项为3，公差为2的等差
数列.所以$a_n=3+(n-1)×2=2n+1$，所以$b_n=\frac{1}{2n+1}$
(2)设$c_n=b_nb_{n+1}=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})$
所以$b_1b_2+b_2b_3+·s+b_nb_{n+1}$
$=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+·s+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})$
$=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3})$。
令$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3})-\frac{1}{7}＜0$，解得$n＜9$。
又因为$n\in N^*$，
所以$n$的最大值为8。