《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1.［$\underset{\mathrm{通化高二期中}}{{2024吉林}}$］设$\{ a_{n}\}$是公比为$q(q ＞ 1)$的等比数列，若$a_{2021}$和$a_{2022}$是方程$4x^{2} - 8x + 3 = 0$的两根，则$a_{2023} + a_{2024} =$(A)

A.$18$
B.$10$
C.$25$
D.$9$

答案： 1.A解析:由题意得$\begin{cases}a_{2021}+a_{2022}=2\\a_{2021}a_{2022}=\frac{3}{4}\end{cases}$，又$q\gt1$，解得$\begin{cases}a_{2021}=\frac{1}{2}\\a_{2022}=\frac{3}{2}\end{cases}$，故$q=3$，从而$a_{2023}+a_{2024}=a_{2022}(q + q^{2})=\frac{3}{2}(3 + 9)=18$。

2.［新情境］九连环是一种益智玩具，它蕴含着丰富的数学奥秘.假设从套环与套框完全分离的状态出发，需经过$a_{n}$步演变，出现只穿有第$n$环的状态，且$a_{n + 1} = 2a_{n} + 1$，$a_{1} = 1$，则从套环与套框完全分离的状态到套环均在套框上的状态，总共需要的演变步数为$a_{8} + 1 + a_{7} + 1 + a_{6} + 1 + a_{5} + 1 + a_{4} + 1 + a_{3} + 1 + a_{2} + 1 + 1 =$(C)

A.$345$
B.$344$
C.$341$
D.$340$

答案： 2.C解析:由$a_{n + 1}=2a_{n}+1$，可得$a_{n + 1}+1=2(a_{n}+1)$。令$b_{n}=a_{n}+1$，则$\{b_{n}\}$是以$a_{1}+1=2$为首项，2为公比的等比数列，所以$b_{n}=a_{n}+1=2^{n}$，则$a_{n + 1}+a_{n}+1+a_{n}+1+1=2^{8}+2^{6}+2^{4}+2^{2}+1=341$。

3.［新情境］［$\underset{\mathrm{六安高二期中}}{{2024安徽}}$］标准对数视力表(如图)中各行均为$``E"$形视标，且从视力$5.2$的视标所在行开始往上，每一行$``E"$的$``$边长$"$都是下方一行$``E"$的$``$边长$"$的$\sqrt[10]{10}$倍，若视力$4.0$的视标$``$边长$"$为$a_{1}$，则视力$4.8$的视标$``$边长$"$为(B)

A.$10^{\frac{9}{10}}a_{1}$
B.$10^{- \frac{4}{5}}a_{1}$
C.$10^{4}a_{1}$
D.$10^{\frac{9}{10}}a_{1}$

答案： 3.B解析:由题意可得，以视力4.0的视标“边长”为首项$a_{1}$，则公比$q=10^{-\frac{1}{10}}$，视力4.8的视标“边长”为$a_{9}$，故$a_{9}=a_{1}q^{8}=a_{1}×10^{-\frac{8}{10}}=10^{-\frac{8}{10}}a_{1}$。

4. 已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项积为$T_{n}$，若$a_{1} = - 24$，$a_{4} = - \frac{8}{9}$，则当$T_{n}$取最大值时，$n$的值为(D)

A.$10$
B.$8$
C.$6$
D.$4$

答案： 4.D解析:设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$，则$q^{3}=\frac{a_{4}}{a_{1}}=(-\frac{8}{9})×(-\frac{1}{24})=\frac{1}{27}$，解得$q=\frac{1}{3}$，所以$a_{n}=(-24)·(\frac{1}{3})^{n - 1}$，所以$T_{n}=a_{1}a_{2}·s a_{n}=(-24)^{n}·(\frac{1}{3})^{\frac{n(n - 1)}{2}}$，所以当$T_{n}$取得最大值时，$n$为偶数，而$y=(\frac{1}{3})^{x}$在$R$上单调递减，$T_{2}=(-24)^{2}×(\frac{1}{3})^{1}=192$，$T_{4}=(-24)^{4}×(\frac{1}{3})^{6}=\frac{8^{4}}{9}$，$T_{6}=(-24)^{6}×(\frac{1}{3})^{15}=\frac{8^{6}}{3^{9}}$，则$T_{6}\lt T_{4}$，当$n\gt6$且$n$为偶数时，$T_{n}\lt T_{6}$，所以当$n = 4$时，$T_{n}$取得最大值。

5.［$\underset{\mathrm{辽源五中高二检测}}{{2024吉林}}$］已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1} = 1$，$a_{2} = \frac{1}{32}$，$\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}} = \frac{4a_{n + 1}}{a_{n}}$，则$a_{5} =$(D)

A.$2^{- 12}$
B.$2^{- 10}$
C.$2^{- 9}$
D.$2^{- 8}$

答案： 5.D解析:$\because a_{1}=1$，$a_{2}=\frac{1}{32}$，$\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}}=\frac{4a_{n + 1}}{a_{n}}$，$\therefore$数列$\{\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\}$是首项为$\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{1}{32}$，公比为4的等比数列，$\therefore\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=\frac{1}{32}×4^{n - 1}=2^{2n - 7}$，当$n\geq2$时，$a_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}·\frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}}·s\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{1}{2}×4^{n - 4}×4^{n - 5}×·s×4^{-1}×1=(\frac{1}{2})^{n}×4^{\frac{(n - 4)+(n - 5)+·s - 1}{1}}=(\frac{1}{2})^{n}×4^{\frac{(n - 3)(n - 4)}{2}}=2^{n^{2}-8n + 7}$，$\therefore a_{5}=2^{25 - 40 + 7}=2^{-8}$。
点评
本题先求通项$a_{n}$，再求$a_{5}$是常规解法。除这种方法外，由于要求的$a_{5}$下标较小，也可以采用直接迭代的方法，由$a_{1}$，$a_{2}$代入递推关系求出$a_{3}$，再由$a_{2}$，$a_{3}$求出$a_{4}$，最后由$a_{3}$，$a_{4}$求出$a_{5}$。

6.［新定义］若数列$\{ a_{n}\}$满足$\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{2}{a_{n}} = 0$，则称$\{ a_{n}\}$为$``$梦想数列$"$，已知正项数列$\{\frac{1}{b_{n}}\}$为$``$梦想数列$"$，且$b_{1} + b_{2} + b_{3} = 1$，则$b_{6} + b_{7} + b_{8} =$(D)

A.$4$
B.$8$
C.$16$
D.$32$

答案： 6.D解析:由题意可知，若数列$\{a_{n}\}$为“梦想数列”，则$\frac{1}{a_{n + 1}}-\frac{2}{a_{n}}=0$可得$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$，所以“梦想数列”$\{a_{n}\}$是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列。因为正项数列$\{\frac{1}{b_{n}}\}$为“梦想数列”，所以$\frac{1}{b_{n + 1}}=\frac{1}{2b_{n}}$，所以$\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}=2$，即正项数列$\{b_{n}\}$是公比为2的等比数列。因为$b_{1}+b_{2}+b_{3}=1$，所以$b_{6}+b_{7}+b_{8}=2^{5}(b_{1}+b_{2}+b_{3})=32$。

7.［多选题］［$\underset{\mathrm{镇江一中高二调研}}{{2024江苏}}$］已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$a_{1} = 2$，$a_{n + 1} = 2S_{n} + 2(n \in \mathbf{N}^{*})$，下列说法正确的有(ABD)

A.数列$\{ a_{n}\}$是等比数列
B.$a_{n} = 2 × 3^{n - 1}$
C.数列$\{ a_{n}\}$是递减数列
D.数列$\{ a_{n}\}$是递增数列

答案： 7.ABD解析:$\because a_{n + 1}=2S_{n}+2$①，$\therefore$当$n\geq2$时，$a_{n}=2S_{n - 1}+2(n\geq2)$②，① - ②可得$a_{n + 1}-a_{n}=2a_{n}$，即$a_{n + 1}=3a_{n}(n\geq2)$。令$n = 1$，则$a_{2}=2S_{1}+2=2a_{1}+2=6$，满足$a_{2}=3a_{1}$，故$a_{n + 1}=3a_{n}$，$\therefore$数列$\{a_{n}\}$为等比数列，故A正确。$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}=2×3^{n - 1}$，故B正确。$q=3\gt1$且$a_{1}=2\gt0$，$\therefore$数列$\{a_{n}\}$是递增数列，故C错误，D正确。故选ABD。

8.［实际应用］［$\underset{\mathrm{哈三中高二检测}}{{2024黑龙江}}$］某制药公司今年共投入资金$50$万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加$20\%$.按此规律至少10年后，每年投入的资金可达$250$万元以上.(精确到$1$年，参考数据：$\lg 1.2 \approx 0.08$，$\lg 5 \approx 0.70$)

答案： 8.10解析:由题知，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%，满足等比数列模型。令$a_{1}=50$，$q=1.2$，所以$a_{n}=50×(1.2)^{n - 1}\gt250$，所以$(1.2)^{n - 1}\gt5$，所以$n - 1\gt\frac{\lg5}{\lg1.2}=\frac{\lg5}{\lg1.2}\approx\frac{0.70}{0.08}=8.75$。因为$n$为正整数，所以$n = 10$。

9.［开放题］［$\underset{\mathrm{实验中学高二检测}}{{2024山东省}}$］在正项等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = \frac{1}{4}$，且$a_{2} · a_{4} = 16$，记数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项的积为$T_{n}$，若$T_{n} \in [1,1000)$，请写出一个满足条件的$n$的值：3.

答案： 9.3(答案不唯一，3，4均可)解析:设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$，$q\gt0$，故$a_{2}· a_{4}=a_{3}^{2}· q^{4}=16$。因为$a_{1}=\frac{1}{4}$，$q\gt0$，所以$q=4$，所以$a_{n}=a_{1}· q^{n - 1}=\frac{1}{4}×4^{n - 1}=4^{n - 2}$，所以$T_{n}=4^{-3}·4^{-2}··s·4^{n - 2}=4^{\frac{(n - 3)n}{2}}$，$T_{3}=4^{0}=1$，满足要求。

10.［$\underset{\mathrm{台州高二期}}{{2024浙江}}$］已知数列$\{ a_{n}\}$为等比数列，且$a_{1} = 2$，$a_{3}a_{4} = a_{7}$，数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和记为$S_{n}$，满足$2S_{n} = n^{2} + n$.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$的通项公式；
(2)若对任意$n \in \mathbf{N}^{*}$，$a_{n} ＞ \lambda b_{n}$恒成立，求实数$\lambda$的取值范围.

答案： 10.解:
(1)设数列$\{a_{n}\}$的公比为$q(q\neq0)$，由$a_{3}a_{4}=a_{7}$得$a_{1}^{2}q^{5}=a_{1}q^{6}$，又$\because a_{1}=2$，$\therefore q=2$，$\therefore a_{n}=2^{n}$。$\because2S_{n}=n^{2}+n$，$\therefore b_{1}=S_{1}=1$，且$2S_{n - 1}=(n - 1)^{2}+(n - 1)=n^{2}-n(n\geq2)$，则当$n\geq2$时，$2b_{n}=2S_{n}-2S_{n - 1}=n^{2}+n-(n^{2}-n)=2n$，则$b_{n}=n$，当$n = 1$时，$b_{1}=1$也满足上式。$\therefore b_{n}=n$。
(2)$\because a_{n}=2^{n}$，$b_{n}=n$，$a_{n}\gt\lambda b_{n}$，$\therefore\lambda\lt\frac{2^{n}}{n}$。记$c_{n}=\frac{2^{n}}{n}$，则$\frac{c_{n + 1}}{c_{n}}=\frac{2^{n + 1}}{n + 1}·\frac{n}{2^{n}}=\frac{2n}{n + 1}=2-\frac{2}{n + 1}\geq\frac{4}{3}\gt1$，则$c_{n + 1}\gt c_{n}$。$\therefore(c_{n})_{\min}=c_{1}=c_{2}=2$，则$\lambda\lt2$，即实数$\lambda$的取值范围为$(-\infty,2)$。