《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

12. 已知曲线$y=f(x)=x^3-3x$上一点$P(1,-2)$，过点$P$作直线$l$.
（1）求与曲线$y=f(x)$相切且以$P$为切点的直线$l$的方程；
（2）求与曲线$y=f(x)$相切且切点异于点$P$的直线$l$的方程.

答案： 12.解:
(1)$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{[(x+\Delta x)^3 - 3(x+\Delta x)]-(x^3 - 3x)}{\Delta x}=3x\Delta x + 3x^2+(\Delta x)^2 - 3$，当$\Delta x \to 0$时，$\frac{\Delta y}{\Delta x} \to 3x^2 - 3$，所以$f'(x)=3x^2 - 3$，则与曲线$y = f(x)$相切且以$P(1,-2)$为切点的直线$l$的斜率$k = f'(1)=0$，所以所求直线$l$的方程为$y = -2$.
(2)设切点坐标为$(x_0,x_0^3 - 3x_0)(x_0 \neq 1)$，则由
(1)知直线$l$的斜率$k = f'(x_0)=3x_0^2 - 3$，所以直线$l$的方程为$y-(x_0^3 - 3x_0)=(3x_0^2 - 3)(x - x_0)$.又直线$l$过点$P(1,-2)$，所以$-2-(x_0^3 - 3x_0)=(3x_0^2 - 3)(1 - x_0)$，解得$x_0 = 1$（舍去）或$x_0 = -\frac{1}{2}$，故所求直线$l$的方程为$y - (-2)=-\frac{9}{4}(x - 1)$，即$9x + 4y - 1 = 0$.

13. [2024北京丰台区高二检测]已知函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上可导，其部分图象如图所示，设$k=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$，则下列不等式正确的是(B)


A.$k＜f'(x_1)＜f'(x_2)$
B.$f'(x_1)＜k＜f'(x_2)$
C.$f'(x_2)＜f'((x_1)＜k$
D.$f'(x_1)＜f'(x_2)＜k$

答案： 13.B 解析:$\because$由题图知，函数图象增长得越来越快，$\therefore f'(x_1) ＜ k ＜ f'(x_2)$.
导数与函数图象升降的关系：1.若函数$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数存在且$f'(x_0)＞ 0$（即切线的斜率大于零），则函数$y = f(x)$在$x = x_0$附近的图象是上升的；若$f'(x_0) ＜ 0$（即切线的斜率小于零），则函数$y = f(x)$在$x = x_0$附近的图象是下降的.2.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.

14. 已知函数$y=f(x)$的图象如图所示，则函数$y=f'(x)$的图象可能是下列选项中的(B)

答案： 14.B 解析:由$y = f(x)$的图象及导数的几何意义可知，当$x ＜ 0$时，$f'(x) ＞ 0$，当$x = 0$时，$f'(x) = 0$，当$x ＞ 0$时，$f'(x) ＜ 0$，故选项B符合.

15. [多选题]已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，其导函数$f'(x)$的图象如图所示，则对于任意$x_1$，$x_2 \in \mathbf{R}(x_1 \neq x_2)$，下列结论正确的有(AD)


A.$(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]＜0$
B.$(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]＞0$
C.$f(\frac{x_1+x_2}{2})＞\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
D.$f(\frac{x_1+x_2}{2})＜\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

答案：
15.AD 解析:由题中图象可知，导函数$f'(x)$的图象在$x$轴下方，即$f'(x) ＜ 0$，且其绝对值越来越小，因此过函数$f(x)$图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得$f(x)$的大致图象如图所示.很明显$f(x)$为减函数，故A正确，B不正确；$f(\frac{x_1 + x_2}{2})$表示$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$时对应的函数值，即图中点B的纵坐标，$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$表示当$x = x_1$和$x = x_2$时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) ＜ \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，故C不正确，D正确.
曲线的升降、切线的斜率、切线的倾斜角与导数大小的关系：$f'(x_0)$，曲线$f(x)$在$x = x_0$附近，切线斜率$k$，切线倾斜角；$＞ 0$，上升，$＞ 0$，为锐角；$＜ 0$，下降，$＜ 0$，为钝角；$= 0$，平坦，$= 0$，为零（切线与$x$轴平行）

16. 已知$f'(1)=1$，则$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+3\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$等于(C)

A.$1$
B.$-1$
C.$3$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 16.C 解析:因为$f'(1) = 1$，所以$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+3\Delta x)-f(1)}{3\Delta x} = 3 \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+3\Delta x)-f(1)}{3\Delta x}= 3f'(1) = 3$，自变量的改变量为$3\Delta x$.
易错警示：在导数的概念中，自变量的改变量形式是多种多样的，如$3\Delta x$，$-2\Delta x$，$\frac{1}{2}\Delta x$等，但无论是哪种形式，分子中$x$的改变量与分母中的改变量必须保持一致，该式子才能表示某点处的导数.

17. 已知函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}$，则曲线$y=f(x)$过点$P(2,4)$的切线方程为$x - y + 2 = 0$或$4x - y - 4 = 0$.

答案： 17.$x - y + 2 = 0$或$4x - y - 4 = 0$ 解析:$f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{3}(x+\Delta x)^3+\frac{4}{3}-\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} [x^2+x\Delta x+\frac{1}{3}(\Delta x)^2] = x^2$，设切点为$M(x_0,f(x_0))$，则曲线的切线方程为$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.切点不确定时，都要先设出切点.因为点$P$在切线上，所以$4 - f(x_0) = f'(x_0)(2 - x_0)$，即$4-(\frac{1}{3}x_0^3+\frac{4}{3}) = x_0^2(2 - x_0)$，整理可得$x_0^3 - 3x_0^2 + 4 = 0$，即$(x_0^3 + 1)-3(x_0^2 - 1) = 0$，即$(x_0 + 1)(x_0 - 2)^2 = 0$，解得$x_0 = -1$或$x_0 = 2$，所以有两条切线，其方程分别是$y - f(-1) = f'(-1)(x + 1)$即$x - y + 2 = 0$；$y - f(2) = f'(2)(x - 2)$，即$4x - y - 4 = 0$.综上，过点$P(2,4)$的切线方程为$x - y + 2 = 0$或$4x - y - 4 = 0$.
易错警示：1.求曲线的切线方程时，要看清题目是“求曲线在某点处的切线方程”，还是“求曲线过某点的切线方程”.前者的切线有且只有一条，而后者有可能有一条或多条.2.本题易错的地方是由点$P(2,4)$在曲线$y = f(x)$上，认为点$P$一定是切点，从而误认为切线斜率$k = f'(2)= 4$，得过点$P$的切线方程为$y - 4 = 4(x - 2)$，整理得$4x - y - 4 = 0$.