《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2023山东聊城高二期末]设$S_{n}$是等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，若$\frac{S_{4}}{S_{8}} = \frac{2}{5}$，则$\frac{S_{8}}{S_{16}} =$ (A)

A.$\frac{5}{14}$
B.$\frac{7}{26}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{2}{5}$

答案： 1.A 解析：若数列$\{ a_{n}\}$为等差数列，则$S_{4}$，$S_{8}-S_{4}$，$S_{12}-S_{8}$，$S_{16}-S_{12}$也成等差数列.因为$\frac{S_{4}}{S_{8}}=\frac{2}{5}$，所以$\frac{S_{4}}{S_{8}-S_{4}}=\frac{2}{3}$，则数列$S_{4}$，$S_{8}-S_{4}$，$S_{12}-S_{8}$，$S_{16}-S_{12}$是以$S_{4}$为首项，以$\frac{1}{2}S_{4}$为公差的等差数列，则$S_{8}-S_{4}=\frac{3}{2}S_{4}$，由$\frac{S_{4}}{S_{8}-S_{4}}=\frac{2}{3}$，得$S_{8}-S_{4}=\frac{3}{2}S_{4}$，$S_{12}-S_{8}=2S_{4}$，$S_{16}-S_{12}=\frac{5}{2}S_{4}$，所以$S_{8}=\frac{5}{2}S_{4}$，$S_{16}=7S_{4}$，所以$\frac{S_{8}}{S_{16}}=\frac{5}{14}$.
本题利用等差数列前n项和的性质构造新等差数列，进而构造方程求解，体现了转化的思想与方程的思想.

2. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$共有$(2n + 1)$项，其中奇数项之和为$290$，偶数项之和为$261$，则$a_{n + 1}$的值为(B)

A.$30$
B.$29$
C.$28$
D.$27$

答案： 2.B 解析：奇数项共有$(n + 1)$项，其和为$\frac{a_{1}+a_{2n + 1}}{2}· (n + 1)=\frac{2a_{n + 1}}{2}· (n + 1)=290$，所以$(n + 1)a_{n + 1}=290$.偶数项共有$n$项，其和为$\frac{a_{2}+a_{2n}}{2}· n=\frac{2a_{n + 1}}{2}· n = na_{n + 1}=261$，所以$a_{n + 1}=290 - 261 = 29$.

3. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$.若$m ＞ 1$，且$a_{m - 1} + a_{m + 1} - a_{m}^{2} = 0,S_{2m - 1} = 38$，则$m =$ (C)

A.$38$
B.$20$
C.$10$
D.$9$

答案： 3.C 解析：根据等差数列的性质可得$a_{m - 1}+a_{m + 1}=2a_{m}$.又$\because a_{m - 1}+a_{m + 1}-a_{m}^{2}=0$，$\therefore 2a_{m}=a_{m}^{2}$，$\therefore a_{m}=0$或$a_{m}=2$.若$a_{m}=0$，显然$S_{2m - 1}=(2m - 1)a_{m}=38$不成立，$\therefore a_{m}=2$.
对等差数列$\{ a_{n}\}$，有$S_{2n - 1}=(2n - 1)a_{n}$；$S_{n}=n(a_{1}+a_{n + 1})$.

4. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}(n \in \mathbf{N}^{*})$，若$S_{m - 1} = 0,S_{m} = 2,S_{m + 1} = 5$，则$m =$ (C)

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

答案： 4.C 解析：设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$.$\because \frac{S_{n}}{n}=a_{1}+(n - 1)\frac{d}{2}$，$\therefore \{\frac{S_{n}}{n}\}$是等差数列.$\because \frac{S_{m - 1}}{m - 1}=0$，$\frac{S_{m}}{m}=\frac{2}{m}$，$\frac{S_{m + 1}}{m + 1}=\frac{5}{m + 1}$是数列$\{\frac{S_{n}}{n}\}$中连续的三项，$\therefore 0+\frac{5}{m + 1}=\frac{2}{m}× 2$，解得$m = 4$.
已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则$\{\frac{S_{n}}{n}\}$是以$a_{1}$为首项，数列$\{ a_{n}\}$的公差的一半为公差的等差数列.

5. [2024苏州十中高二检测]一个等差数列共有偶数项，偶数项之和为$84$，奇数项之和为$51$，最后一项与第一项之差为$63$，则该数列的公差为3.

答案： 5.3 解析：不妨设等差数列为$\{ a_{n}\}$，公差为$d$，项数为$2n$，$n\in N^{*}$，则$S_{偶}-S_{奇}=nd = 84 - 51 = 33$.又$a_{2n}-a_{1}=(2n - 1)d = 63$，所以$\frac{nd}{(2n - 1)d}=\frac{11}{21}$，故$n = 11$，$d = 3$.
知识链接
等差数列前n项和的常用性质
1.若等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则$S_{n}$，$S_{2n}-S_{n}$，$S_{3n}-S_{2n}$，$·s$成等差数列.
2.若数列$\{ a_{n}\}$是公差为$d$的等差数列，则$\{\frac{S_{n}}{n}\}$也是等差数列，其首项为$a_{1}$，公差为$\frac{d}{2}$.
3.若等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则$S_{n}=\frac{n(a_{k}+a_{n + 1 - k})}{2}$，$k = 1,2$，$·s$，$n$且$S_{2n - 1}=(2n - 1)a_{n}$.
4.设数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，且公差为$d$，若项数为偶数，设共有$2n$项，则①$S_{偶}-S_{奇}=nd$；②$\frac{S_{奇}}{S_{偶}}=\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}$.若项数为奇数，设共有$(2n - 1)$项，则①$S_{奇}-S_{偶}=a_{中}$(中间项)；②$\frac{S_{奇}}{S_{偶}}=\frac{n}{n - 1}$.

6. [2024陕西咸阳高二期中]已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n} = n^{2} - 5n + 2$，则数列$\{ |a_{n}|\}$的前$10$项和为(D)

A.$56$
B.$58$
C.$62$
D.$60$

答案： 6.D 解析：因为$S_{n}=n^{2}-5n + 2$，所以当$n\geq2$时，$S_{n - 1}=(n - 1)^{2}-5n + 7$，两式相减可得$a_{n}=2n - 6(n\geq2)$，当$n = 1$时，$a_{1}=S_{1}=-2$，不满足上式，故$a_{n}=\begin{cases}-2,n = 1,\\2n - 6,n\geq2.\end{cases}$则数列$\{ a_{n}\}$从第2项开始成等差数列，且前2项为负数，第3项为0，其余各项为正数，所以数列$\{|a_{n}|\}$的前10项和为$-a_{1}-a_{2}+a_{3}+·s+a_{10}=4+\frac{7×(2 + 14)}{2}=60$.

7. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = |19 - 2n|$，$n \in \mathbf{N}^{*}$，则其前$20$项的和为202.

答案： 7.202 解析：因为$a_{n}=|19 - 2n|$，当$n\leq9$时，$a_{n}=19 - 2n$；当$n\geq10$时，$a_{n}=2n - 19$.所以$S_{20}=a_{1}+a_{2}+·s+a_{9}+a_{10}+a_{11}+·s+a_{20}=17 + 15+·s+1 + 1+3+·s+21=\frac{(17 + 1)×9}{2}+\frac{(1 + 21)×11}{2}=202$.
等差数列前n项的绝对值之和的求法
1.利用通项公式判断数列的项的符号变化，找到变号的临界值；
2.根据项的符号去掉绝对值符号；
3.利用等差数列的前n项和公式求解.

8. 若数列$\{ a_{n}\}$的通项公式是$a_{n} = 4n - 25$，则数列$\{ |a_{n}|\}$的前$n$项和$T_{n} =$.

答案： 8.$\begin{cases}-2n^{2}+23n(1\leq n\leq6),\\2n^{2}-23n + 132(n\geq7).\end{cases}$解析：(方法1)由题意知$a_{1}=-21$，$a_{n + 1}-a_{n}=4$，$\therefore$数列$\{ a_{n}\}$是首项为$-21$，公差为4的等差数列.设数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d = 2n^{2}-23n$.令$a_{n}=4n - 25\leq0$，得$n\leq\frac{25}{4}$.又$n\in N^{*}$，$\therefore n\leq6$，即数列$\{ a_{n}\}$中前6项为负，第7项及以后均为正.$\therefore$当$1\leq n\leq6$时，$T_{n}=-S_{n}=-2n^{2}+23n$；当$n\geq7$时，$T_{n}=-a_{1}-a_{2}-·s-a_{6}+a_{7}+a_{8}+·s+a_{n}=-(a_{1}+a_{2}+·s+a_{6})+(a_{7}+a_{8}+·s+a_{n})=-S_{6}+(S_{n}-S_{6})=S_{n}-2S_{6}=2n^{2}-23n + 132$.$\therefore T_{n}=\begin{cases}-2n^{2}+23n(1\leq n\leq6),\\2n^{2}-23n + 132(n\geq7).\end{cases}$
(方法2)$|a_{n}|=|4n - 25|=\begin{cases}25 - 4n(1\leq n\leq6),\\4n - 25(n\geq7).\end{cases}$当$1\leq n\leq6$时，$T_{n}=(25 - 4×1)+(25 - 4×2)+·s+(25 - 4n)=25n - 4(1 + 2+3+·s+n)=25n-\frac{4n(1 + n)}{2}=-2n^{2}+23n$；当$n\geq7$时，$T_{n}=(25 - 4×1)+(25 - 4×2)+·s+(25 - 4×6)+(4×7 - 25)+(4×8 - 25)+·s+(4n - 25)$共$(n - 6)$项$=66+\frac{4(n - 6)(7 + n)}{2}-25(n - 6)=2n^{2}-23n + 132$.$\therefore T_{n}=\begin{cases}-2n^{2}+23n(1\leq n\leq6),\\2n^{2}-23n + 132(n\geq7).\end{cases}$
1.求等差数列的前n项的绝对值之和时，要特别注意对n的分类讨论；
2.求等差数列的前n项的绝对值之和时，最后结果要写成分段函数的形式；
3.利用等差数列的通项公式求解含绝对值的数列前n项和问题，关键是要区分清楚通项正负的临界点，从而分别在两段区间内进行求和运算.

9. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}(n \in \mathbf{N}^{*})$，若其前$n$项和为$9$，则项数$n$为 (A)

A.$99$
B.$100$
C.$101$
D.$102$

答案： 9.A 解析：设数列$\{ a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$.因为$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + 1}}=\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$，分母有理化.所以数列$\{ a_{n}\}$的前n项和$S_{n}=a_{1}+a_{2}+·s+a_{n}=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+·s+\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}=\sqrt{n + 1}-1$，令$S_{n}=\sqrt{n + 1}-1 = 9$，解得$n = 99$.故选A.

10. [2024河南驻马店市第一高级中学中学高二检测]已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 2,a_{n + 1} = \frac{2a_{n}}{a_{n} + 2}(n \in \mathbf{N}^{*})$，则数列$\{\frac{a_{n}}{n + 1}\}$的前$10$项和$S_{10} =$ (C)

A.$\frac{16}{11}$
B.$\frac{18}{11}$
C.$\frac{20}{11}$
D.$2$

答案： 10.C 解析：$\because a_{n + 1}=\frac{2a_{n}}{a_{n}+2}(n\in N^{*})$，$\therefore\frac{1}{a_{n + 1}}=\frac{a_{n}+2}{2a_{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{a_{n}}$，即$\frac{1}{a_{n + 1}}-\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{2}$，$\therefore$数列$\{\frac{1}{a_{n}}\}$是首项为$\frac{1}{2}$公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，$\therefore\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{2}+(n - 1)×\frac{1}{2}=\frac{n}{2}$，$\therefore a_{n}=\frac{2}{n}$，$\therefore\frac{a_{n}}{n + 1}=\frac{2}{n(n + 1)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})$，$\therefore$数列$\{\frac{a_{n}}{n + 1}\}$的前10项和$S_{10}=2×(1-\frac{1}{2})+2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+·s+2×(\frac{1}{10}-\frac{1}{11})=\frac{20}{11}$.

11. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = \frac{1}{4n^{2} - 1}$，则数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n} =$$\frac{n}{2n + 1}$.

答案： 11.$\frac{n}{2n + 1}$解析：$\because a_{n}=\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$，$\therefore S_{n}=\frac{1}{2}×[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+·s+(\frac{1}{2n - 3}-\frac{1}{2n - 1})+(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})]=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2n + 1})=\frac{n}{2n + 1}$.
常见的裂项技巧
1.$\frac{1}{n(n + k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + k})$；
2.$\frac{1}{\sqrt{n + k}+\sqrt{n}}=\frac{1}{k}(\sqrt{n + k}-\sqrt{n})$；
3.$\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$；
4.$\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}=\frac{1}{2}[\frac{1}{n(n + 1)}-\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}]$.

12. [2024福建上杭二中高二检测]已知正项数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{n} = \frac{n(n + 1)}{2}$.
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)令$b_{n} = \frac{1}{a_{n}a_{n + 2}}$，数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$，求证：对于任意的$n \in \mathbf{N}^{*}$，都有$\frac{1}{3} \leqslant T_{n} ＜ \frac{3}{4}$.

答案： 12.
(1)解：当$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=n$，当$n = 1$时，$a_{1}=S_{1}=1$也适合上式，$\therefore a_{n}=n(n\in N^{*})$.\n
(2)证明：由
(1)得$b_{n}=\frac{1}{a_{n}a_{n + 2}}=\frac{1}{n(n + 2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 2})$，$\therefore T_{n}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+·s+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 2})=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}-\frac{1}{n + 1}-\frac{1}{n + 2})=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}(\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n + 2})$，$\because\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n + 2}＞0$，$\therefore T_{n}＜\frac{3}{4}$.又$\because T_{n}$为关于$n$的增函数，$\therefore$当$n = 1$时，$T_{n}$有最小值$T_{1}=\frac{1}{3}$，$\therefore\frac{1}{3}\leq T_{n}＜\frac{3}{4}$.\n!\n注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，从而导致计算结果错误.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，这时应根据式子的结构特点寻找突破口.一般来说，裂开的$2n$项中有$n$个正项、$n$个负项，且由于消项的过程中是成对消掉，所以保留项中正、负项的个数应该相同.