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2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
10. 若三个数成等差数列,且它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为______.
答案：
10. -21
11. 某人练习写毛笔字,第一天写了4个大字,以后每天比前一天都多写,且多写的字数相同,第三天写了12个大字,则此人每天比前一天多写______个大字.
答案：
11. 4 由题意可知此人每天所写大字的字数构成首项为4，第三项为12的等差数列，所以$d=\frac{12 - 4}{3 - 1}=4$。
12. 若一个等差数列的前5项和为15,后5项和为145,且该数列共有31项,则这个等差数列的公差为______.
答案：
12. 1 设这个等差数列为$\{a_n\}$，则$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5=5a_3=15$，$a_{27}+a_{28}+a_{29}+a_{30}+a_{31}=5a_{29}=145$，所以$a_3=3$，$a_{29}=29$。所以公差$d=\frac{29 - 3}{29 - 3}=1$。
13. (教材变式)已知数列$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$都是等差数列,公差分别为$d_{1}$,$d_{2}$,数列$\{ c_{n}\}$满足$c_{n}=a_{n}+2b_{n}+n$.
(1) 数列$\{ c_{n}\}$是不是等差数列？若是,请证明你的结论;若不是,请说明理由.
(2) 若数列$\{ a_{n}\}$的公差为$-2$,$\{ b_{n}\}$的公差为$-3$,$a_{1}=5$,$b_{1}=8$,求数列$\{ c_{n}\}$的通项公式.
(1) 数列$\{ c_{n}\}$是不是等差数列？若是,请证明你的结论;若不是,请说明理由.
(2) 若数列$\{ a_{n}\}$的公差为$-2$,$\{ b_{n}\}$的公差为$-3$,$a_{1}=5$,$b_{1}=8$,求数列$\{ c_{n}\}$的通项公式.
答案：
13. 解：
(1)数列$\{c_n\}$是等差数列，证明如下：
因为$c_{n + 1}-c_n=a_{n + 1}+2b_{n + 1}+n + 1-(a_n + 2b_n + n)=(a_{n + 1}-a_n)+2(b_{n + 1}-b_n)+1=d + 2d_2 + 1$(常数)，所以数列$\{c_n\}$是以$d + 2d_2 + 1$为公差的等差数列.
(2)因为$a_1=5$，$b_1=8$，所以$c_1=a_1 + 2b_1 + 1=5 + 2×8 + 1=22$。由
(1)可知数列$\{c_n\}$是等差数列，且公差为$d + 2d_2 + 1=-2 + 2×(-3)+1=-7$，所以$c_n=c_1+(n - 1)d=22 - 7(n - 1)=29 - 7n$。
教材链接 人教A版选择性必修二4.2.1练习第4题
(1)数列$\{c_n\}$是等差数列，证明如下：
因为$c_{n + 1}-c_n=a_{n + 1}+2b_{n + 1}+n + 1-(a_n + 2b_n + n)=(a_{n + 1}-a_n)+2(b_{n + 1}-b_n)+1=d + 2d_2 + 1$(常数)，所以数列$\{c_n\}$是以$d + 2d_2 + 1$为公差的等差数列.
(2)因为$a_1=5$，$b_1=8$，所以$c_1=a_1 + 2b_1 + 1=5 + 2×8 + 1=22$。由
(1)可知数列$\{c_n\}$是等差数列，且公差为$d + 2d_2 + 1=-2 + 2×(-3)+1=-7$，所以$c_n=c_1+(n - 1)d=22 - 7(n - 1)=29 - 7n$。
教材链接 人教A版选择性必修二4.2.1练习第4题
14. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{1}=1$,$a_{2}+2a_{3}+a_{4}=12$.
(1) 求$a_{5}+a_{7}$的值;
(2) 若数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{n}=a_{2n}-1$,求证:数列$\{ b_{n}\}$是等差数列.
(1) 求$a_{5}+a_{7}$的值;
(2) 若数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{n}=a_{2n}-1$,求证:数列$\{ b_{n}\}$是等差数列.
答案：
14.
(1)解：因为$a_2 + a_4=2a_3$，所以$a_2 + 2a_3 + a_4=4a_3=12$，即$a_3=3$。设公差为$d$，则$a_3=a_1 + 2d$，解得$d=1$，所以$a_5 + a_7=2a_1 + 10d=12$。
(2)证明：由
(1)可知$a_n=n$，所以$b_n=a_{2n - 1}=2n - 1$，则$b_n - b_{n - 1}=(2n - 1)-[2(n - 1)-1]=2(n\geq2)$，所以数列$\{b_n\}$是首项为1，公差为2的等差数列。
核心笔记
1. 等差数列的通项公式可以变形为$a_n=dn + (a_1 - d)$，是关于$n$的一次函数，$d$为直线斜率，故过两点$(1,a_1)$，$(n,a_n)$的直线斜率$d=\frac{a_n - a_1}{n - 1}$，当两点为$(n,a_n)$，$(m,a_m)$时，$d=\frac{a_n - a_m}{n - m}$。（练习运用：第1题）
2. 等差数列的性质
(1)$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若$m + n=p + q=2r(m$，$n$，$p$，$q$，$r\in N^*)$，则$a_m + a_n=a_p + a_q=2a_r$。（练习运用：第2，12题）
(2)从等差数列中每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列。（练习运用：第8题）
(3)若$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，则$\{a_n + a_{n + k}\}$（$k$为常数，$k\in N^*$）是公差为$2d$的等差数列.
(4)若$\{a_n\}$，$\{b_n\}$分别是公差为$d_1$，$d_2$的等差数列，则数列$\{pa_n + qb_n\}$（$p$，$q$是常数）是公差为$pd_1 + qd_2$的等差数列。（练习运用：第13题）
(5)若数列$\{a_n\}$的公差为$d$，则$d＞0\Leftrightarrow\{a_n\}$为递增数列；$d＜0\Leftrightarrow\{a_n\}$为递减数列；$d=0\Leftrightarrow\{a_n\}$为常数列。
3. 设等差数列的技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为$·s$，$a - d$，$a$，$a + d$，$·s$，此时公差为$d$；对于连续偶数项的等差数列，通常可设为$·s$，$a - 3d$，$a - d$，$a + d$，$a + 3d$，$·s$，此时公差为$2d$。（练习运用：第10题）
(2)等差数列的通项可设为$a_n=pn + q$。
4. 在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，则可考虑利用数列方法解决；若这组数依次呈直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决。（练习运用：第11题）
(1)解：因为$a_2 + a_4=2a_3$，所以$a_2 + 2a_3 + a_4=4a_3=12$，即$a_3=3$。设公差为$d$，则$a_3=a_1 + 2d$，解得$d=1$，所以$a_5 + a_7=2a_1 + 10d=12$。
(2)证明：由
(1)可知$a_n=n$，所以$b_n=a_{2n - 1}=2n - 1$，则$b_n - b_{n - 1}=(2n - 1)-[2(n - 1)-1]=2(n\geq2)$，所以数列$\{b_n\}$是首项为1，公差为2的等差数列。
核心笔记
1. 等差数列的通项公式可以变形为$a_n=dn + (a_1 - d)$，是关于$n$的一次函数，$d$为直线斜率，故过两点$(1,a_1)$，$(n,a_n)$的直线斜率$d=\frac{a_n - a_1}{n - 1}$，当两点为$(n,a_n)$，$(m,a_m)$时，$d=\frac{a_n - a_m}{n - m}$。（练习运用：第1题）
2. 等差数列的性质
(1)$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若$m + n=p + q=2r(m$，$n$，$p$，$q$，$r\in N^*)$，则$a_m + a_n=a_p + a_q=2a_r$。（练习运用：第2，12题）
(2)从等差数列中每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列。（练习运用：第8题）
(3)若$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，则$\{a_n + a_{n + k}\}$（$k$为常数，$k\in N^*$）是公差为$2d$的等差数列.
(4)若$\{a_n\}$，$\{b_n\}$分别是公差为$d_1$，$d_2$的等差数列，则数列$\{pa_n + qb_n\}$（$p$，$q$是常数）是公差为$pd_1 + qd_2$的等差数列。（练习运用：第13题）
(5)若数列$\{a_n\}$的公差为$d$，则$d＞0\Leftrightarrow\{a_n\}$为递增数列；$d＜0\Leftrightarrow\{a_n\}$为递减数列；$d=0\Leftrightarrow\{a_n\}$为常数列。
3. 设等差数列的技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为$·s$，$a - d$，$a$，$a + d$，$·s$，此时公差为$d$；对于连续偶数项的等差数列，通常可设为$·s$，$a - 3d$，$a - d$，$a + d$，$a + 3d$，$·s$，此时公差为$2d$。（练习运用：第10题）
(2)等差数列的通项可设为$a_n=pn + q$。
4. 在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，则可考虑利用数列方法解决；若这组数依次呈直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决。（练习运用：第11题）
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