《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

8. “内卷”是一个网络流行词,一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争,导致人们进入了互相倾轧、内耗的状态. 数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词,螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”. 平面螺旋便是以一个固定点开始,向外圈逐渐旋绕而形成的图案,如图 1,它的画法是这样的:正方形 $ ABCD $ 的边长为 4,取正方形 $ ABCD $ 各边的四等分点 $ E,F,G,H $ 作第二个正方形,再取正方形 $ EFGH $ 各边的四等分点 $ M,N,P,Q $ 作第三个正方形,以此方法一直循环下去,就可得到图案. 设正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ a_{1} $,后续各正方形边长依次为 $ a_{2},a_{3},·s,a_{n},·s $. 如图 2 阴影部分,设直角三角形 $ AEH $ 的面积为 $ b_{1} $,后续各直角三角形的面积依次为 $ b_{2},b_{3},·s,b_{n},·s $. 下列说法正确的是 ( )

A.数列$ \{ a_{n}\} $是以 4 为首项,$ \frac{\sqrt{10}}{4} $为公比的等比数列
B.从正方形 $ ABCD $ 开始,连续 3 个正方形的面积之和为$ \frac{129}{4} $
C.使得不等式 $ b_{n}＞\frac{1}{2} $成立的 $ n $ 的最大值为 4
D.数列$ \{ b_{n}\} $的前 $ n $ 项和 $ S_{n}＜4 $

答案： 8.ABD 对于选项A，$a_{n + 1}^{2} = \left( \frac{a_{n}}{4} \right)^{2} + \left( \frac{3a_{n}}{4} \right)^{2} = \frac{5}{8}a_{n}^{2}$，且$a_{n} ＞ 0$，所以$a_{n + 1} = \frac{\sqrt{10}}{4}a_{n}$.又因为$a_{1} = 4$，所以数列$\{ a_{n}\}$是以4为首项，$\frac{\sqrt{10}}{4}$为公比的等比数列，故A正确.对于选项B，由上知，$a_{n} = 4 × \left( \frac{\sqrt{10}}{4} \right)^{n - 1}$，则$a_{1} = 4$，$a_{2} = \sqrt{10}$，$a_{3} = \frac{5}{2}$，所以$a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} = 4^{2} + (\sqrt{10})^{2} + \left( \frac{5}{2} \right)^{2} = \frac{129}{4}$，故B正确.对于选项C，$b_{n} = \frac{1}{2} · \frac{a_{n}}{4} · \frac{3a_{n}}{4} = \frac{3a_{n}^{2}}{32} = \frac{3}{32} × \left\lbrack 4 × \left( \frac{\sqrt{10}}{4} \right)^{n - 1} \right\rbrack^{2} = \frac{3}{2} × \left( \frac{5}{8} \right)^{n - 1}$，易知$\{ b_{n}\}$单调递减，且$b_{3} = \frac{3}{2} × \left( \frac{5}{8} \right)^{2} = \frac{75}{128} ＞ \frac{1}{2}$，$b_{4} = \frac{3}{2} × \left( \frac{5}{8} \right)^{3} = \frac{375}{1024} ＜ \frac{1}{2}$，故使得不等式$b_{n} ＞ \frac{1}{2}$成立的$n$的最大值为3，故C错误.对于选项D，因为$S_{n} = \frac{\frac{3}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{5}{8} \right)^{n} \right\rbrack}{1 - \frac{5}{8}} = 4\left\lbrack 1 - \left( \frac{5}{8} \right)^{n} \right\rbrack$，且$n \in \mathbf{N}^{*}$，所以$0 ＜ 1 - \left( \frac{5}{8} \right)^{n} ＜ 1$，所以$S_{n} ＜ 4$，故D正确.

9. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事:三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关. 下列说法正确的是 ( )

A.此人第三天走了二十四里路
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C.此人第二天走的路程占全程的$ \frac{1}{4} $
D.此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的 8 倍

答案： 9.BD 由题意，此人每天所走路程构成以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，记该等比数列为$\{ a_{n}\}$，公比为$q = \frac{1}{2}$，前$n$项和为$S_{n}$，则$S_{6} = \frac{63}{32}a_{1} = 378$，解得$a_{1} = 192$，所以此人第三天走的路程为$a_{3} = a_{1} · q^{2} = 48$，故A错误.此人第一天走的路程比后五天走的路程多$a_{1} - (S_{6} - a_{1}) = 2a_{1} - S_{6} = 384 - 378 = 6$(里)，故B正确.此人第二天走的路程为$a_{2} = a_{1} · q = 96 \neq \frac{378}{4} = 94.5$，故C错误.此人前三天走的路程之和为$S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} = 192 + 96 + 48 = 336$，后三天走的路程之和为$S_{6} - S_{3} = 378 - 336 = 42$，$336 = 42 × 8$，即前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍，故D正确.

10. 在数列$ \{ a_{n}\} $中,$ a_{1}=3 $,$ a_{m+n}=a_{m}· a_{n} $,若 $ a_{k+1}+a_{k+2}+·s +a_{k+10}=\frac{1}{2}(3^{19}-3^{9}) $,则 $ k= $________.

答案： 10.8 在$a_{m + n} = a_{m} · a_{n}$中，令$m = 1$，则$a_{n + 1} = 3a_{n}$，故$\{ a_{n}\}$是以3为首项，3为公比的等比数列，则$a_{n} = 3^{n}$，所以$a_{k + 1} + a_{k + 2} + ·s + a_{k + 10} = \frac{a_{k + 1}(1 - 3^{10})}{1 - 3} = \frac{1}{2}(3^{19} - 3^{9})$，故$k + 1 = 9$，$k = 8$.

11. (高频导向)已知在公比为 $ q $ 的等比数列$ \{ a_{n}\} $中,$ a_{1}+a_{n}=66 $,$ a_{2}a_{n - 1}=128 $,且前 $ n $ 项和 $ S_{n}=126 $,则 $ q $ 的值为________.

答案： 11.2或$\frac{1}{2}$由题意得$\begin{cases}a_{2}a_{n - 1} = a_{1}a_{n} = 128, \\a_{1} + a_{n} = 66,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_{1} = 2, \\a_{n} = 64\end{cases}$或$\begin{cases}a_{1} = 64, \\a_{n} = 2.\end{cases}$由$S_{n} = \frac{a_{1} - a_{n}q}{1 - q} = 126$得$\begin{cases}q = 2, \\n = 6\end{cases}$或$\begin{cases}q = \frac{1}{2}, \\n = 6.\end{cases}$

12. (教材变式)在流行病学中,基本传染数 $ R_{0} $ 是指在没有外力介人,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.$ R_{0} $ 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定. 假设某种传染病的基本传染数 $ R_{0}=4 $,平均感染周期为 7 天,那么感染人数由 1 个初始感染者增加到 1 365 人大约需要的天数为________.(初始感染者传染 $ R_{0} $ 个人为第一轮传染,这 $ R_{0} $ 个人每人再传染 $ R_{0} $ 个人为第二轮传染……)

答案： 12.35 依题意，每一轮传染，新增感染者数依次排成一列，得等比数列$\{ a_{n}\}$，$a_{1} = 4$，$a_{n} = 4^{n}$.设感染者增加到1365人需要$n$轮传染，则$1 + 4 + 4^{2} + ·s + 4^{n} = \frac{4^{n + 1} - 1}{3} = 1365$，解得$n = 5$，所以感染人数由1个初始感染者增加到1365人大约需要的天数为$5 × 7 = 35$.
教材链接 人教A版选择性必修二习题4.3第9题