《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

1. (易错易混)设 $ y = e^3 $,则 $ y' = $ ( )

A.$ 3e^2 $
B.0
C.$ e^2 $
D.$ e^3 $

答案： 1.B 因为 $y=e^3$，所以 $y^\prime=0$。

2. 若 $ f(x) = \sqrt[3]{x} $,则 $ f'(1) = $ ( )

A.0
B.$ -\frac{1}{3} $
C.3
D.$ \frac{1}{3} $

答案： 2.D 因为 $f^\prime(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$，所以 $f^\prime(1)=\frac{1}{3}$。

3. 已知函数 $ f(x) = x^3 $, $ f'(x) $ 是 $ f(x) $ 的导函数. 若 $ f'(x_0) = 12 $,则 $ x_0 = $ ( )

A.2
B.-2
C.$ \pm 2 $
D.$ \pm \sqrt{2} $

答案： 3.C $f^\prime(x)=3x^2$，$3x_0^2=12$，解得 $x_0=\pm2$。

4. 已知函数 $ f_1(x) = \sin x $, $ f_{n + 1}(x) = f'_n(x) $,则 $ f_{22}\left( \frac{\pi}{6} \right) = $ ( )

A.$ -\frac{\sqrt{3}}{2} $
B.$ -\frac{1}{2} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $

答案： 4.D 因为 $f_1(x)=\sin x$，$f_{n + 1}(x)=f_n^\prime(x)$，所以 $f_2(x)=\cos x$，$f_3(x)=-\sin x$，$f_4(x)=-\cos x$，$f_5(x)=\sin x$，周期为 4，故 $f_{22}(x)=f_{4×5 + 2}(x)=f_2(x)=\cos x$，$f_{22}(\frac{\pi}{6})=f_2(\frac{\pi}{6})=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

5. 已知在一次降雨过程中,某地降雨量 $ y $ (单位:mm)与时间 $ t $ (单位:min)的函数关系可表示为 $ y = \sqrt{t} $,则在 $ t = 4 $ min 时的瞬时降雨强度为 ( )

A.$ \frac{1}{2} $ mm/min
B.$ \frac{1}{4} $ mm/min
C.2 mm/min
D.4 mm/min

答案： 5.B 因为 $y^\prime=\frac{1}{2}·\sqrt{\frac{1}{t}}$，所以 $y^\prime|_{t = 4}=\frac{1}{2}·\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}$，所以在 $t = 4\min$ 时的瞬时降雨强度为 $\frac{1}{4}mm/\min$。

6. 若直线 $ y = kx $ 与曲线 $ y = \log_3 x $ 相切,则实数 $ k = $ ( )

A.$ e \ln 3 $
B.$ e \log_3 e $
C.$ \frac{1}{e} $
D.$ \frac{1}{e} \log_3 e $

答案： 6.D 设切点为 $(x_0,\log_3x_0)$，由 $y=\log_3x$ 可得 $y^\prime=\frac{1}{x\ln3}$，则 $\frac{1}{x_0\ln3}=k$，所以 $\begin{cases}\frac{1}{x_0\ln3}=k\\kx_0=\log_3x_0\end{cases}$，解得 $x_0 = e$，$k=\frac{1}{e\ln3}$，即 $k=\frac{1}{e}\log_3e$。

7. (教材变式)下列函数求导运算正确的是 ( )

A.$ \left( \frac{1}{x} \right)' = \ln x $
B.$ (\sqrt{x^5})' = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} $
C.$ (\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10} $
D.$ (x^{-5})' = -\frac{1}{5}x^{-6} $

答案： 7.BC $(\frac{1}{x})^\prime=-\frac{1}{x^2}$，故 A 错误；$(\sqrt{x^5})^\prime=(x^{\frac{5}{2}})^\prime=\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$，故 B 正确；$(\lg x)^\prime=\frac{1}{x\ln10}$，故 C 正确；$(x^{-5})^\prime=-5x^{-6}$，故 D 错误。

8. 下列函数求导运算正确的是 ( )

A.$ (3^x)' = 3^x \log_3 e $
B.$ (\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2} $
C.$ \left( \sin \frac{\pi}{3} \right)' = \cos \frac{\pi}{3} $
D.$ \left( \frac{1}{x^2} \right)' = \frac{-2}{x^3} $

答案： 8.BD 对于 A，$(3^x)^\prime=3^x\ln3$，故 A 错误；对于 B，$(\log_2x)^\prime=\frac{1}{x\ln2}$，故 B 正确；对于 C，$(\sin\frac{\pi}{3})^\prime=0$，故 C 错误；对于 D，$(\frac{1}{x^2})^\prime=-\frac{2}{x^3}$，故 D 正确。

9. 可能把直线 $ y = \frac{3}{2}x + b $ 作为切线的曲线是 ( )

A.$ y = -\frac{1}{x} $
B.$ y = \sin x $
C.$ y = \ln x $
D.$ y = e^x $

答案： 9.ACD 对于 A，因为 $y=-\frac{1}{x}$，所以其导数 $y^\prime=\frac{1}{x^2}$，令 $y^\prime=\frac{3}{2}$，则其方程有解，为 $x=\pm\frac{\sqrt{6}}{3}$，故 A 可能。对于 B，因为 $y=\sin x$，所以其导数 $y^\prime=\cos x$，因为对任意 $x\in\mathbf{R}$，$-1\leqslant\cos x\leqslant1$，所以令 $y^\prime=\frac{3}{2}$，方程无解，故 B 不可能。对于 C，因为 $y=\ln x$，所以其导数 $y^\prime=\frac{1}{x}$，令 $y^\prime=\frac{3}{2}$，方程有解，为 $x=\frac{2}{3}$，故 C 可能。对于 D，因为 $y=e^x$，所以其导数 $y^\prime=e^x$，令 $y^\prime=\frac{3}{2}$，方程有解，为 $x=\ln\frac{3}{2}$，故 D 可能。