《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

10. 在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{n + 2}=4a_{n + 1}-a_{n},a_{1}=a_{2}=1$，则$a_{4}=$______。

答案： 10. 11 因为$a_{n + 2}=4a_{n + 1}-a_{n}$，$a_{1}=a_{2}=1$，所以$a_{3}=4a_{2}-a_{1}=3$，$a_{4}=4a_{3}-a_{2}=4×3-1=11$.

11. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足递推公式$a_{n}=\frac{n}{n + 1}a_{n - 1}(n\geq2,n\in N^{*})$，且$a_{1}=5$，则数列$\{ a_{n}\}$的前四项依次为______，它的通项公式为______。

答案： 11. 5，$\frac{10}{3}$，$\frac{5}{2}$，2 $a_{n}=\frac{10}{n + 1}$ 将$n$取1,2,3,4依次代入递推公式即可得前4项的值，依次为5，$\frac{10}{3}$，$\frac{5}{2}$，2.
解法1 将前四项改写为$\frac{10}{2}$，$\frac{10}{3}$，$\frac{10}{4}$，$\frac{10}{5}$后不难猜想通项公式为$a_{n}=\frac{10}{n + 1}$.
解法2 由$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=\frac{n}{n + 1}(n\geq2,n\in\mathbf{N}^{*})$，得$\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{2}{3}$，$\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{3}{4}$，$·s$，$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=\frac{n}{n + 1}(n\geq2,n\in\mathbf{N}^{*})$，将以上各式相乘得$\frac{a_{n}}{a_{1}}=\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×·s×\frac{n}{n + 1}=\frac{2}{n + 1}$，所以$a_{n}=\frac{10}{n + 1}(n\geq2,n\in\mathbf{N}^{*})$，$a_{1}=5$也符合上式.

12. 如图，根据下列图形及相应图形中顶点的个数，找出其中的一种规律，则第$n$个图形中共有______个顶点。

答案： 12. $n^{2}+5n + 6$ 当$n=1$时，顶点个数为12 = 3 + 3×3；当$n=2$时，顶点个数为20 = 4 + 4×4；当$n=3$时，顶点个数为30 = 5 + 5×5；……其规律为第$n$个图形应由正$(n + 2)$边形“扩展”而来，原有顶点个数为$n + 2$，每条边向外扩展正$(n + 2)$边形，多出$(n + 2)$个顶点，因此第$n$个图形有$(n + 2)+(n + 2)(n + 2)=(n^{2}+5n + 6)$个顶点.

13. 在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1,a_{n}=\frac{2a_{n - 1}}{2 + a_{n - 1}}(n\geq2)$，求$a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$，并归纳出$a_{n}$。

答案： 13. 解：因为$a_{1}=1$，$a_{n}=\frac{2a_{n - 1}}{2 + a_{n - 1}}(n\geq2)$，所以$a_{2}=\frac{2a_{1}}{2 + a_{1}}=\frac{2}{3}$，$a_{3}=\frac{2a_{2}}{2 + a_{2}}=\frac{2}{4}$，$a_{4}=\frac{2a_{3}}{2 + a_{3}}=\frac{2}{5}$，$a_{5}=\frac{2a_{4}}{2 + a_{4}}=\frac{2}{6}$，……，可归纳出$a_{n}=\frac{2}{n + 1}$.
教材链接 人教A版选择性必修二4.1练习2第3题

14. 设数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n},S_{n}=n^{2}-n + 1,n\in N^{*}$。求：
（1）$a_{3}$的值；
（2）数列$\{ a_{n}\}$的通项公式。

答案： 14. 解：
(1)取$n=2$，得$S_{2}=4 - 2 + 1=3$，即$a_{1}+a_{2}=3$，取$n=3$，得$S_{3}=9 - 3 + 1=7$，即$a_{1}+a_{2}+a_{3}=7$，故$a_{3}=4$.
(2)因为$a_{1}=S_{1}=1$，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=n^{2}-n + 1-[(n - 1)^{2}-(n - 1)+1]=2n - 2(n\geq2)$，且当$n=1$时，$a_{1}=2×1 - 2=0\neq1$，所以数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\begin{cases}1, & n = 1, \\2n - 2, & n\geq2,n\in\mathbf{N}^{*}.\end{cases}$
易错警示 利用$S_{n}$求$a_{n}$的通项公式的注意点
由$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}$求$a_{n}$时的$n$是从2开始的自然数，由此求得的$a_{n}$不一定就是它的通项公式，必须验证$n=1$时是否也成立，否则只能用$a_{n}=\begin{cases}S_{1}, & n = 1, \\S_{n}-S_{n - 1}, & n\geq2,\end{cases}$$n\in\mathbf{N}^{*}$来表示.
核心笔记
1. 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.解答这类问题时还需注意：
(1)若知道的是首项，则通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；(练习运用：第1题)
(2)若知道的是末项，则通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.(练习运用：第2题)
2. 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为$a_{n + 1}=a_{n}+f(n)$或$a_{n + 1}=g(n)· a_{n}$，则分别可以通过累加或累乘法求得通项公式.
(1)累加法：当$a_{n}=a_{n - 1}+f(n)$时，常用$a_{n}=(a_{n}-a_{n - 1})+(a_{n - 1}-a_{n - 2})+·s+(a_{2}-a_{1})+a_{1}$求通项公式.(练习运用：第6题)
(2)累乘法：当$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=g(n)$时，常用$a_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}·\frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}}·s\frac{a_{2}}{a_{1}}· a_{1}$求通项公式.(练习运用：第11题)
3. 数列的通项$a_{n}$与前$n$项和$S_{n}$的关系是$a_{n}=\begin{cases}S_{1}, & n = 1, \\S_{n}-S_{n - 1}, & n\geq2.\end{cases}$当$n=1$时，若$a_{1}$适合$S_{n}-S_{n - 1}$，则$n=1$的情况可并入$n\geq2$时的通项$a_{n}$；当$n=1$时，若$a_{1}$不适合$S_{n}-S_{n - 1}$，则用分段函数的形式表示.(练习运用：第14题)