《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

14. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为 $ a_{n}=\frac{3n - 2}{3n + 1} $.
(1) 判断 $ \frac{7}{10} $是否为该数列中的项.若是,它为第几项? 若不是,请说明理由.
(2) 求证:$\{ a_{n}\}$是递增数列.

答案： 14.
(1)解：令$\frac{3n - 2}{3n + 1}=\frac{7}{10}$，解得$n = 3$，所以$\frac{7}{10}$是该数列中的项，是数列的第$3$项.
(2)证明：因为$a_{n}=\frac{3n - 2}{3n + 1}=1-\frac{3}{3n + 1}$，所以$a_{n + 1}-a_{n}=1+\frac{3}{3(n + 1)+1}-1-\frac{3}{3n + 1}=\frac{3(3n + 4)-3(3n + 1)}{(3n + 4)(3n + 1)}=\frac{9}{(3n + 4)(3n + 1)}＞0$，即$a_{n + 1}＞a_{n}$，故$\{a_{n}\}$是递增数列.
核心笔记
1. 求数列通项公式或指定项，通常用观察法，对于正负交替型数列，一般用$(-1)^{n}$或$(-1)^{n + 1}$来区分奇偶项的符号.(练习运用：第1,13
(2)题)
2. 与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性.(练习运用：第3,14
(1)题)
(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现（互异性）.(练习运用：第2题)
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素与顺序无关（无序性）.(练习运用：第7题)
3. 判断数列是哪一种类型的数列时，要紧扣概念及数列的特点.对于递增、递减、摆动或常数列，则要从项的变化趋势来分析；对于有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限.(练习运用：第6,14题)
4. 要注意以下两个易错点：
(1)并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，$\pi$的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列$3,3.1,3.14,3.141,·s$，它没有通项公式.
(2)如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式可以有多种形式.(练习运用：第13题)
5. 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列$a_{n}=f(n)$和函数$y = f(x)$的单调性是不同的.(练习运用：第6,9题)