《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2025新高考Ⅱ卷,7]记 $ S_n $ 为等差数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和,若 $ S_3 = 6 $, $ S_5 = -5 $,则 $ S_6 = $ ( )

A.$ -20 $
B.$ -15 $
C.$ -10 $
D.$ -5 $

答案： 1. B 解法1(基本量法) 设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$，则
$\begin{cases}S_{3}=3a_{1}+3d=6,\\S_{5}=5a_{1}+10d=-5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_{1}=5,\\d=-3,\end{cases}$所以$S_{6}=6a_{1}+\frac{6×5}{2}d=-15$。
解法2(性质法) 因为$S_{n}$为等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，所以$\{\frac{S_{n}}{n}\}$为等差数列.设$\{\frac{S_{n}}{n}\}$的公差为$d_{1}$，则$\frac{S_{5}}{5}-\frac{S_{3}}{3}=2d_{1}$，
解得$d_{1}=-\frac{3}{2}$，所以$\frac{S_{6}}{6}=\frac{S_{5}}{5}+d_{1}=-1-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$，
即$S_{6}=-15$。

2. [2023全国甲卷,5]已知在正项等比数列 $ \{ a_n \} $ 中, $ a_1 = 1 $, $ S_n $ 为 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和, $ S_5 = 5S_3 - 4 $,则 $ S_4 = $ ( )

A.$ 7 $
B.$ 9 $
C.$ 15 $
D.$ 30 $

答案： 2. C 设公比为$q$，则$1 + q + q^{2}+q^{3}+q^{4}=5(1 + q + q^{2}) - 4$，即$q^{3}+q^{4}=4q + 4q^{2}$，即$q^{3}+q^{2}-4q - 4 = 0$，即$(q - 2)(q + 1)(q + 2)=0$。由题意知$q＞0$，所以$q = 2$。所以$S_{4}=1 + 2 + 4 + 8 = 15$。

3. [2023新高考Ⅱ卷,8]记 $ S_n $ 为等比数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和,若 $ S_4 = -5 $, $ S_6 = 21S_2 $,则 $ S_8 = $ ( )

A.$ 120 $
B.$ 85 $
C.$ -85 $
D.$ -120 $

答案： 3. C 解法1(基本量法) 依题意知，公比$q\neq\pm1$。由
$\begin{cases}S_{4}=-5,\\S_{6}=21S_{2},\end{cases}$即
$\begin{cases}\frac{a_{1}(1 - q^{4})}{1 - q}=-5,\frac{a_{1}(1 - q^{6})}{1 - q}=21·\frac{a_{1}(1 - q^{2})}{1 - q},\end{cases}$
解得
$\begin{cases}q^{2}=4,\frac{a_{1}}{1 - q}=-\frac{1}{3}.\end{cases}$所以$S_{8}=\frac{a_{1}(1 - q^{8})}{1 - q}=\frac{1 - 2^{8}}{3}=-85$。
解法2(性质法) 因为$S_{2},S_{4}-S_{2},S_{6}-S_{4},S_{8}-S_{6}$成等比数列，所以$(S_{4}-S_{2})^{2}=S_{2}·(S_{6}-S_{4})$，即$(-5 - S_{2})^{2}=S_{2}·(21S_{2}+5)$，解得$S_{2}=-1$或$S_{2}=\frac{5}{4}$。当$S_{2}=-1$时，由$(S_{6}-S_{4})^{2}=(S_{4}-S_{2})(S_{8}-S_{6})$，求得$S_{8}=-85$；当$S_{2}=\frac{5}{4}=a_{1}+a_{2}$时，结合$S_{4}=-5=(a_{1}+a_{2})(1 + q^{2})=(1 + q^{2})S_{2}$，求得$q^{2}=-5＜0$，舍去.

4. [多选题,2025新高考Ⅱ卷,9]记 $ S_n $ 为等比数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和, $ q $ 为 $ \{ a_n \} $ 的公比, $ q ＞ 0 $,若 $ S_3 = 7 $, $ a_3 = 1 $,则 ( )

A.$ q = \frac{1}{2} $
B.$ a_5 = \frac{1}{9} $
C.$ S_5 = 8 $
D.$ a_n + S_n = 8 $

答案： 4. AD 由题意得，$S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=\frac{a_{3}}{q^{2}}+\frac{a_{3}}{q}+a_{3}=\frac{1}{q^{2}}+\frac{1}{q}+1 = 7$，即$\frac{1}{q}+\frac{1}{q^{2}}-6 = 0$，得$(\frac{1}{q}+3)(\frac{1}{q}-2)=0$。又$q＞0$，则$\frac{1}{q}=2$，即$q=\frac{1}{2}$，故A正确；$a_{5}=a_{3}q^{2}=\frac{1}{4}$，故B错误；由$a_{1}=\frac{a_{3}}{q^{2}}=4$，得$a_{n}=4×(\frac{1}{2})^{n - 1}=(\frac{1}{2})^{n - 3}$，$S_{n}=\frac{4[1 - (\frac{1}{2})^{n}]}{1-\frac{1}{2}}=8 - (\frac{1}{2})^{n - 3}$，则$S_{5}=8 - (\frac{1}{2})^{2}\neq8$，故C错误；$a_{n}+S_{n}=(\frac{1}{2})^{n - 3}+8 - (\frac{1}{2})^{n - 3}=8$，故D正确.

5. [2025新高考Ⅰ卷,13]若一个等比数列的各项均为正数,且前 $ 4 $ 项和为 $ 4 $,前 $ 8 $ 项和为 $ 68 $,则这个数列的公比是______.

答案： 5. 2 解法1(利用求和公式) 由题易知$q\neq1$，所以
$\begin{cases}\frac{a_{1}(1 - q^{4})}{1 - q}=4,\frac{a_{1}(1 - q^{8})}{1 - q}=68,\end{cases}$
所以$1 - q^{8}=17(1 - q^{4})$，得$(1 + q^{4})(1 - q^{4})=17(1 - q^{4})$，所以$1 + q^{4}=17$，$q^{4}=16$，$q=\pm2$。又等比数列的各项均为正数，所以$q＞0$，故$q = 2$。
解法2(利用通项公式) $S_{8}=a_{1}+a_{2}+·s+a_{8}=S_{4}+q^{4}S_{4}$，
将$S_{4},S_{8}$的值代入，得$68 = 4 + 4q^{4}$，所以$q^{4}=16$，$q=\pm2$。又等比数列的各项均为正数，所以$q＞0$，故$q = 2$。

6. [2024新高考Ⅱ卷,12]记 $ S_n $ 为等差数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和.若 $ a_3 + a_4 = 7 $, $ 3a_2 + a_5 = 5 $,则 $ S_{10} = $______.

答案： 6. 95 设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$，则
$\begin{cases}a_{1}+2d+a_{1}+3d=7,\\3(a_{1}+d)+a_{1}+4d=5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_{1}=-4,\\d=3,\end{cases}$
所以$S_{10}=10a_{1}+\frac{10×9}{2}d=10×(-4)+45×3=95$。