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2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
9. 已知公差为$d$的等差数列$\{ a_{n}\}$是递减数列,其前$n$项和为$S_{n}$,且满足$a_{8} = 2a_{6}$,则下列结论正确的是（ ）
A.$d ＜ 0$
B.$a_{1} ＞ 0$
C.若$S_{n} ＜ 0$,则$n$的最小值为$8$
D.当$S_{n}$取最大值时,$n = 4$
A.$d ＜ 0$
B.$a_{1} ＞ 0$
C.若$S_{n} ＜ 0$,则$n$的最小值为$8$
D.当$S_{n}$取最大值时,$n = 4$
答案：
9. ABC 等差数列$\{a_n\}$是递减数列，则公差$d＜0$，故A正确；由题意，知$d=\frac{a_8 - a_6}{2}=\frac{1}{2}a_6＜0$，所以$a_6＜0$，则$a_4=a_6-2d=0$，所以当$S_n$取最大值时，$n=4$或$3$，故D错误；$a_1=a_4-3d=-\frac{3}{2}a_6＞0$，故B正确；$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=-\frac{3}{2}a_6n+\frac{n(n-1)}{2}·\frac{1}{2}a_6=\frac{1}{4}a_6(n^2 - 7n)$，由$S_n＜0$，即$n^2 - 7n＞0$，解得$n＞7$，故C正确.
10. 若数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n} + a_{n + 2} = 2a_{n + 1}(n \in \mathbf{N}^{*})$,$a_{1} = 10$,$a_{7} = -2$,设数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,则当$S_{n}$取最大值时,$n =$____.
答案：
10. 5或6 因为$a_n+a_{n+2}=2a_{n+1}(n\in N^*)$，所以数列$\{a_n\}$为等差数列，设公差为$d$，则$d=\frac{a_7 - a_1}{7 - 1}=-2$.
解法1：$S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=10n+\frac{n(n-1)}{2}×(-2)=-n^2+11n$.因为函数$y=-x^2+11x$的图象开口向下，且对称轴为直线$x=\frac{11}{2}=5.5$，所以当$S_n$取最大值时，$n=5$或$6$.
解法2：$a_n=a_1+(n - 1)d=10-2(n - 1)=12-2n$，则当$n\leq5$时，$a_n＞0$；当$n = 6$时，$a_6=0$；当$n\geq7$时，$a_n＜0$.所以当$S_n$取最大值时，$n=5$或$6$.
10. 5或6 因为$a_n+a_{n+2}=2a_{n+1}(n\in N^*)$，所以数列$\{a_n\}$为等差数列，设公差为$d$，则$d=\frac{a_7 - a_1}{7 - 1}=-2$.
解法1：$S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=10n+\frac{n(n-1)}{2}×(-2)=-n^2+11n$.因为函数$y=-x^2+11x$的图象开口向下，且对称轴为直线$x=\frac{11}{2}=5.5$，所以当$S_n$取最大值时，$n=5$或$6$.
解法2：$a_n=a_1+(n - 1)d=10-2(n - 1)=12-2n$，则当$n\leq5$时，$a_n＞0$；当$n = 6$时，$a_6=0$；当$n\geq7$时，$a_n＜0$.所以当$S_n$取最大值时，$n=5$或$6$.
11. (教材变式)已知$S_{n}$为等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和.若$a_{5} = 24$,$\frac{S_{9}}{9} - \frac{S_{5}}{5} = -6$,则$S_{15} =$____.
答案：
11. 225 设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，则由题意可得$\frac{S_9}{9}-\frac{S_5}{5}=\frac{\frac{a_1+a_9}{2}×9}{9}-\frac{\frac{a_1+a_5}{2}×5}{5}=a_5 - a_3=2d=-6$，所以$d=-3$，$S_{15}=\frac{15(a_1+a_{15})}{2}=15a_8=15(a_5+3d)=225$.
教材链接：人教A版选择性必修二习题4.2第7题
教材链接：人教A版选择性必修二习题4.2第7题
12. 在数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{1} = 3$,$a_{m + n} = a_{m} + a_{n}$,若$a_{k + 1} + a_{k + 2} + ·s + a_{k + 10} = 345$,则$k =$____.
答案：
12. 6 在$a_{m + n}=a_m+a_n$中，令$m = 1$，可得$a_{n + 1}-a_n=a_1=3$，所以$\{a_n\}$是以3为首项，3为公差的等差数列，则$a_n=3n$，所以$a_{k + 1}+a_{k + 2}+·s+a_{k + 10}=\frac{10·(3k + 3+3k + 30)}{2}=30k + 165=345$，解得$k = 6$.
13. (高频导向)在数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{1} = 31$,$a_{n + 1} = a_{n} - 2$.求:
(1) 数列$\{ a_{n}\}$的通项公式及前$n$项和$S_{n}$;
(2) 数列$\{ |a_{n}|\}$的前$n$项和$T_{n}$.
(1) 数列$\{ a_{n}\}$的通项公式及前$n$项和$S_{n}$;
(2) 数列$\{ |a_{n}|\}$的前$n$项和$T_{n}$.
答案：
13. 解：
(1)因为$a_{n + 1}=a_n-2$，即$a_{n + 1}-a_n=-2$，所以$\{a_n\}$是等差数列，所以$a_n=31+(n - 1)×(-2)=33-2n$，$S_n=\frac{31+33-2n}{2}× n=32n-n^2$.
(2)由$a_n＞0$得$n\leq16$，所以当$n\leq16$时，$T_n=|a_1|+|a_2|+·s+|a_n|=a_1+a_2+·s+a_n=S_n=32n-n^2$；当$n＞16$时，$T_n=a_1+·s+a_{16}-a_{17}-·s-a_n=S_{16}-(S_n - S_{16})=2S_{16}-S_n=512-32n+n^2$.综上可得，$T_n=\begin{cases}32n - n^2,n\leq16\\512-32n + n^2,n＞16\end{cases}$.
(1)因为$a_{n + 1}=a_n-2$，即$a_{n + 1}-a_n=-2$，所以$\{a_n\}$是等差数列，所以$a_n=31+(n - 1)×(-2)=33-2n$，$S_n=\frac{31+33-2n}{2}× n=32n-n^2$.
(2)由$a_n＞0$得$n\leq16$，所以当$n\leq16$时，$T_n=|a_1|+|a_2|+·s+|a_n|=a_1+a_2+·s+a_n=S_n=32n-n^2$；当$n＞16$时，$T_n=a_1+·s+a_{16}-a_{17}-·s-a_n=S_{16}-(S_n - S_{16})=2S_{16}-S_n=512-32n+n^2$.综上可得，$T_n=\begin{cases}32n - n^2,n\leq16\\512-32n + n^2,n＞16\end{cases}$.
14. 某班 20 名同学在一段笔直的公路的一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则这个最小值为____m.
答案：
14. 2000 假设20名同学是1号到20号依次排列，使每名同学往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁.此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，所有同学往返所走的总路程为$S=9×20+\frac{9×8}{2}×20+10×20+\frac{10×9}{2}×20=2000(m)$.
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