《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 在公比$q \neq 1$的等比数列$\{ a_{n}\}$中,若$a_{m} = p$,则$a_{m + n}$的值为
( )

A.$pq^{n + 1}$
B.$pq^{n - 1}$
C.$pq^{n}$
D.$pq^{n + n - 1}$

答案： 1. C 由$a_{m}=p=a_{1}q^{m - 1}$得$a_{m + n}=a_{1}q^{m + n - 1}=a_{1}q^{m - 1}q^{n}=pq^{n}$.

2. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$的公差$d \neq 0$,且$a_{1},a_{3},a_{9}$成等比数列,则$\frac{a_{1} + a_{3} + a_{9}}{a_{2} + a_{4} + a_{10}} =$
( )

A.$\frac{13}{16}$
B.$\frac{10}{13}$
C.$\frac{11}{13}$
D.$\frac{15}{16}$

答案： 2. A 解法1 由$a_{5}^{2}=a_{1}a_{9}$得$(a_{1} + 2d)^{2}=a_{1}(a_{1} + 8d)$，即$a_{1}=d$，所以$\frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{a_{2}+a_{4}+a_{10}}=\frac{3a_{1}+10d}{3a_{1}+13d}=\frac{13}{16}$.
解法2(构造法) 构造正整数数列$1,2,3,·s,n$，符合题目条件，由此易得$\frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{a_{2}+a_{4}+a_{10}}=\frac{13}{16}$.

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$为等比数列,$a_{2} = 3$,则$``q = 3"$是$``a_{4} · a_{6} = 3^{8}"$的
( )

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3. A 由$a_{4}a_{6}=a_{5}^{2}=3^{8}$，解得$a_{5}=\pm3^{4}$，所以$q^{3}=\frac{a_{5}}{a_{2}}=\pm3^{3}$，即$q=\pm3$.故$q = 3$”是$a_{4}· a_{6}=3^{8}$”的充分不必要条件.

4. 某产品每年成本降低的百分率为$m$.若5年后的成本是$a$元,则现在的成本是 ( )

A.$\frac{a}{(1 - m)^{4}}$元
B.$\frac{a}{(1 + m)^{4}}$元
C.$\frac{a}{(1 - m)^{5}}$元
D.$\frac{a}{(1 + m)^{5}}$元

答案： 4. C 由题意知，各年成本成等比数列，设现在的成本为$x$元，则$x(1 - m)^{5}=a$，所以$x=\frac{a}{(1 - m)^{5}}$.

5. 已知数列$\{ a_{n}\}$为不单调的等比数列,$a_{2} = \frac{1}{4}$,$a_{4} = \frac{1}{16}$,数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{n} = 1 - a_{n + 1}$,则数列$\{ b_{n}\}$的最大项的值为
( )

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{7}{8}$
C.$\frac{9}{8}$
D.$\frac{5}{4}$

答案： 5. C 由题意可知$q^{2}=\frac{a_{4}}{a_{2}}=\frac{1}{4}$，又数列$\{a_{n}\}$不单调，所以$q=-\frac{1}{2}$，则$a_{n}=a_{2}·(-\frac{1}{2})^{n - 2}=(-\frac{1}{2})^{n}$，故$b_{n}=1 - a_{n + 1}=1 - (-\frac{1}{2})^{n + 1}$.要求数列$\{b_{n}\}$的最大项，需$n$为偶数，则$b_{n}=1 + (\frac{1}{2})^{n + 1}$.根据指数函数的单调性可知，当$n=2$时，$b_{2}=\frac{9}{8}$为数列$\{b_{n}\}$的最大项.

6. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{9} + a_{10} = a$,$a_{19} + a_{20} = b$,且$ab \neq 0$,则$a_{99} + a_{100}$的值为
( )

A.$\frac{b^{9}}{a^{8}}$
B.$(\frac{b}{a})^{9}$
C.$\frac{b^{10}}{a^{9}}$
D.$(\frac{b}{a})^{10}$

答案： 6. A 由等比数列的性质易得数列$\{a_{9 + 10(n - 1)}+a_{10n}\}$也成等比数列，首项$a_{9}+a_{10}=a$，公比$q=\frac{a_{10}+a_{20}}{a_{9}+a_{10}}=\frac{b}{a}$，所以$a_{99}+a_{100}=a(\frac{b}{a})^{9}=\frac{b^{9}}{a^{8}}$.

7. 关于递增等比数列$\{ a_{n}\}$,下列说法错误的是
( )

A.$a_{1} ＞ 0$
B.$q ＞ 1$
C.$\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} ＜ 1$
D.当$a_{1} ＞ 0$时,$q ＞ 1$

答案： 7. ABC 由题意，设数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$，则$a_{n + 1}-a_{n}=a_{1}q^{n - 1}(q - 1)＞0$，当$a_{1}＞0$时，$q＞1$，$0＜\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}＜1$；当$a_{1}＜0$时，$0＜q＜1$，$\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}＞1$.

8. (教材变式)设数列$\{ a_{n}\}$,$\{ b_{n}\}$均为等比数列,则下列选项一定为等比数列的是
( )

A.$\{ a_{n} - b_{n}\}$
B.$\{ a_{2n}\}$
C.$\{ a_{n} · b_{n}\}$
D.$\{\frac{b_{n}}{a_{n}}\}$

答案： 8. BCD 设等比数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$的公比分别为$q_{1}$，$q_{2}$.对于A，当$a_{n}=b_{n}$时，$a_{n}-b_{n}=0$，不合题意，故A错误；对于B，$\frac{a_{2(n + 1)}}{a_{2n}}=q_{1}^{2}$，则数列$\{a_{2n}\}$一定是等比数列，故B正确；对于C，$\frac{a_{n + 1}· b_{n + 1}}{a_{n}· b_{n}}=q_{1}q_{2}$，则数列$\{a_{n}· b_{n}\}$一定是等比数列，故C正确；对于D，$\frac{\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}}{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}=\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}·\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=\frac{q_{2}}{q_{1}}$，则数列$\{\frac{b_{n}}{a_{n}}\}$一定是等比数列，故D正确.
教材链接 人教A版选择性必修二4.3.1练习2第2题

9. 已知等比数列$\{ a_{n}\}$的公比$q ＜ 0$,等差数列$\{ b_{n}\}$的首项$b_{1} ＞ 0$.若$a_{9} ＞ b_{9}$,且$a_{10} ＞ b_{10}$,则下列结论一定正确的是
( )

A.$a_{9}a_{10} ＜ 0$
B.$a_{9} ＞ a_{10}$
C.$b_{10} ＞ 0$
D.$b_{9} ＞ b_{10}$

答案： 9. AD 因为$q＜0$，所以$a_{9}a_{10}=a_{9}· a_{9}q=a_{9}^{2}q＜0$，故A正确；因为$a_{9}a_{10}＜0$，所以$\begin{cases}a_{9}＞0,\\a_{10}＜0.\end{cases}$或$\begin{cases}a_{9}＜0,\\a_{10}＞0.\end{cases}$即$a_{9}＞a_{10}$或$a_{9}＜a_{10}$，故B错误；因为$a_{9}$，$a_{10}$异号，$a_{9}＞b_{9}$，且$a_{10}＞b_{10}$，所以$b_{9}$，$b_{10}$中至少有一个负数，设$\{b_{n}\}$的公差为$d$，又$b_{1}＞0$，所以$d＜0$，$b_{9}＞b_{10}$，故C错误，D正确.

10. 已知数列$\{ a_{n}\}$为等比数列,$a_{1} · a_{3} · a_{11} = 216$,则$a_{5} =$

答案： 10. 6 由$a_{1}· a_{3}· a_{11}=216$可得$a_{5}· a_{3}· a_{7}=216$，即$a_{5}^{3}=216$，故$a_{5}=6$.

11. (教材变式)数列$\{ b_{n}\}$的通项公式为$b_{n} = \frac{3n - 7}{2^{n - 1}}$,则当$n =$ 时,$b_{n}$取最大值

答案： 11. 4 解法1 当$n\geq2$且$n\in\mathbf{N}^{*}$时，$b_{n}-b_{n - 1}=\frac{3n - 7}{2^{n - 1}}-\frac{3n - 10}{2^{n - 2}}=\frac{13 - 3n}{2^{n - 1}}$.当$n\leq4$时，$b_{n}＞b_{n - 1}$，此时$\{b_{n}\}$单调递增；当$n\geq5$时，$b_{n}＜b_{n - 1}$，此时$\{b_{n}\}$单调递减.故当$n = 4$时，$b_{n}$取最大值$(b_{n})_{\max}=b_{4}=\frac{5}{8}$.
解法2 当$n\geq2$且$n\in\mathbf{N}^{*}$时，由$\begin{cases}b_{n}\geq b_{n + 1},\\b_{n}\geq b_{n - 1}.\end{cases}$得$\begin{cases}\frac{3n - 7}{2^{n - 1}}\geq\frac{3n - 4}{2^{n}},\frac{3n - 7}{2^{n - 1}}\geq\frac{3n - 10}{2^{n - 2}}.\end{cases}$解得$\frac{10}{3}\leq n\leq\frac{13}{3}$.又$n\in\mathbf{N}^{*}$，故$n = 4$，故当$n = 4$时，$b_{n}$取最大值$(b_{n})_{\max}=b_{4}=\frac{5}{8}$.
教材链接 人教A版选择性必修二4.3.1练习2第5题