《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 函数$f(x)=sin2x - 4sinx + 3x$的零点个数为（ ）

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 1.B　因为$f^{\prime}(x)=2\cos2x - 4\cos x + 3 = 2(2\cos^{2}x - 1)-4\cos x + 3=4\cos^{2}x - 4\cos x + 1=(2\cos x - 1)^{2}\geqslant0$，所以$f(x)=\sin2x - 4\sin x + 3x$在$\mathbf{R}$上单调递增.又$f(0)=0$，所以函数$f(x)=\sin2x - 4\sin x + 3x$有且仅有一个零点.

2. 方程$x^{3} - 3x - m = 0$在$[0,1]$上有实数根,则$m$的最大值是（ ）

A.0
B.-2
C.-3
D.1

答案： 2.A　因为$m = x^{3}-3x$，令$g(x)=x^{3}-3x,x\in[0,1]$，所以$g^{\prime}(x)=3x^{2}-3\leqslant0$，则$g(x)$在$[0,1]$上单调递减，所以$g(x)\in[-2,0]$，所以$m$的最大值是$0$.

3. 已知某生产厂家的年利润$y$(单位:万元)与年产量$x$(单位:万件)的函数关系式为$y = -\frac{1}{3}x^{3} + 81x - 234$,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）

A.7万件
B.8万件
C.9万件
D.11万件

答案： 3.C $y^{\prime}=-2x + 81,x ＞ 0$，令$y^{\prime}=0$，解得$x = 9$，所以当$x\in(0,9)$时，$y^{\prime}＞0$，函数单调递增；当$x\in(9,+\infty)$时，$y^{\prime}＜0$，函数单调递减.所以当$x = 9$时，利润$y$有最大值，所以使该生产厂家获得最大年利润的年产量为$9$万件.

4. 已知直线$x = t$与函数$y = x$及$y = 2\ln x$的图象分别交于$A,B$两点,则线段$AB$长的最小值为（ ）

A.1
B.$2\ln2 - 2$
C.$2\ln2$
D.$2 - 2\ln2$

答案： 4.D　易知点$A$在点$B$上方.令$f(x)=x - 2\ln x$，则$f^{\prime}(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x - 2}{x}$.所以当$0＜x＜2$时，$f^{\prime}(x)＜0$；当$x＞2$时，$f^{\prime}(x)＞0$，即$f(x)$在$(0,2)$上单调递减，在$(2,+\infty)$上单调递增.所以$f(x)$的最小值为$f(2)=2 - 2\ln2$，即线段$AB$长的最小值为$2 - 2\ln2$.

5. 某商场计划同时销售$A,B$两种商品,当投资额为$x(x＞0)$千元时,在销售$A,B$商品中所获收益分别为$f(x)$千元与$g(x)$千元,其中$f(x)=2x,g(x)=4\ln(2x + 1)$. 如果该商场准备共投入5千元销售$A,B$两种商品,为使总收益最大,那么$B$商品需投入（ ）

A.0.5千元
B.1.5千元
C.2.5千元
D.3.5千元

答案： 5.B　设$B$商品投入$x$千元，总收益为$h(x)$，所以$h(x)=2(5 - x)+4\ln(2x + 1)=-2x + 4\ln(2x + 1)+10$，所以$h^{\prime}(x)=-2+\frac{8}{2x + 1}(0＜x\leqslant5)$.令$h^{\prime}(x)=0$，得$x=\frac{3}{2}$.当$x\in(0,\frac{3}{2})$时，$h^{\prime}(x)＞0$，当$x\in(\frac{3}{2},5)$时，$h^{\prime}(x)＜0$，所以$h(x)$在$(0,\frac{3}{2})$上单调递增，在$(\frac{3}{2},5)$上单调递减.所以$h(x)$在$x=\frac{3}{2}$处取得最大值，即为使总收益最大，则$B$商品需投入$1.5$千元.

6. 已知函数$f(x)=\frac{e^{x}}{x} - mx$(e为自然对数的底数).若$f(x)＞0$在$(0,+\infty)$上恒成立,则实数$m$的取值范围是（ ）

A.$(-\infty,2)$
B.$(-\infty,e)$
C.$(\frac{e^{2}}{4},+\infty)$
D.$(-\infty,\frac{e^{2}}{4})$

答案： 6.D $f(x)=\frac{e^{x}}{x}-mx＞0$在$(0,+\infty)$上恒成立，等价于$m＜\frac{e^{x}}{x^{2}}$在$(0,+\infty)$上恒成立.设$h(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}}(x ＞ 0)$，则$h^{\prime}(x)=\frac{e^{x}(x - 2)}{x^{3}}$.当$x＞2$时，$h^{\prime}(x)＞0$；当$0＜x＜2$时，$h^{\prime}(x)＜0$.故$h(x)$在$(0,2)$上单调递减，在$(2,+\infty)$上单调递增，所以$h(x)$的最小值为$h(2)=\frac{e^{2}}{4}$，即实数$m$的取值范围是$(-\infty,\frac{e^{2}}{4})$.

7. 已知函数$f(x)$的定义域为$[-1,5]$,部分对应值如下表,$f(x)$的导函数$f'(x)$的图象如图所示,下列关于函数$f(x)$的结论正确的有（ ）



A.函数$f(x)$的极大值点有2个
B.函数$f(x)$在$[0,2]$上是减函数
C.若$x\in[-1,t],f(x)$的最大值是2,则$t$的最大值为4
D.当$1 ＜ a ＜ 2$时,函数$y = f(x) - a$有4个零点

答案： 7.ABD　由导数的正负性可知，函数$y = f(x)$的单调递增区间为$(-1,0),(2,4)$，单调递减区间为$(0,2),(4,5)$，B正确；函数$y = f(x)$有$2$个极大值点，A正确；当$x\in[-1,5]$时，函数$y = f(x)$的最大值是$2$，$t$的最大值为$5$，而不是$4$，C错误；作出函数$y = f(x)$的图象如图所示，由图可知，当$1＜a＜2$时，直线$y = a$与函数$y = f(x)$的图象有四个交点，D正确.

8. (高频导向)已知函数$f(x)=\ln x - x^{2}$,则下列说法正确的是（ ）

A.$f(x)$的单调递增区间是$(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$
B.$f(x)$的单调递减区间是$(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)$
C.$f(x)$的最大值是$\frac{1 + \ln2}{2}$
D.$f(x)\leq1$恒成立

答案： 8.BD　$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-2x=\frac{1 - 2x^{2}}{x}$，令$f^{\prime}(x)＞0$，得$0＜x＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，令$f^{\prime}(x)＜0$，得$x＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$f(x)$的单调递增区间是$(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$，单调递减区间是$(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)$，故A错误，B正确；$f(x)_{\max}=f(\frac{\sqrt{2}}{2})=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}\ln2-\frac{1}{2}$，故C错误；由C知，$f(x)\leqslant-\frac{1}{2}\ln2-\frac{1}{2}＜1$，故D正确.