《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 设函数 $ f(x)=x $，则 $ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}= $（ ）

A.0
B.1
C.2
D.-1

答案： 1. B $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1+\Delta x - 1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x}=1$.

2. 物体做直线运动所经过的路程 $ s $ 可以表示为时间 $ t $ 的函数 $ s = s(t) $，则物体在时间间隔 $ [t_0,t_0+\Delta t] $ 内的平均速度是（ ）

A.$ v_0 $
B.$ \frac{\Delta t}{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)} $
C.$ \frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t} $
D.$ \frac{s(t)}{t} $

答案： 2. C 由平均变化率的概念知平均速度是$\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$.

3. 若函数 $ f(x)=x^2 - t $，当 $ 1 \leq x \leq m $ 时，平均变化率为 2，则 $ m = $（ ）

A.$ \sqrt{5} $
B.2
C.3
D.1

答案： 3. D 由题意得$\frac{f(m)-f(1)}{m - 1}=\frac{m^{2}-t-(1^{2}-t)}{m - 1}=\frac{m^{2}-1}{m - 1}=m + 1 = 2$,解得$m = 1$.

4. （教材变式）如果质点 $ A $ 运动的位移 $ s $（单位：m）与时间 $ t $（单位：s）之间的函数关系是 $ s(t)=-\frac{2}{t} $，那么该质点在 $ t = 3 $ s 时的瞬时速度为（ ）

A.$ -\frac{2}{3} $ m/s
B.$ \frac{2}{3} $ m/s
C.$ -\frac{2}{9} $ m/s
D.$ \frac{2}{9} $ m/s

答案： 4. D 因为$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(3+\Delta t)-s(3)}{\Delta t}=\frac{-\frac{2}{3+\Delta t}+\frac{2}{3}}{\Delta t}=\frac{2}{3(3+\Delta t)}$,所以$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{2}{3(3+\Delta t)}=\frac{2}{9}$,所以该质点在$t = 3s$时的瞬时速度为$\frac{2}{9}m/s$.教材链接人教A版选择性必修二5.1.1练习1第3题

5. 设函数 $ f(x)=2x + 1 $ 在区间 $ [-3,-1] $ 上的平均变化率为 $ a $，在区间 $ [0,5] $ 上的平均变化率为 $ b $，则下列结论正确的是（ ）

A.$ a ＞ b $
B.$ a ＜ b $
C.$ a = b $
D.不确定

答案： 5. C 因为函数$f(x)=2x + 1$在区间$[-3,-1]$上的平均变化率$a=\frac{f(-1)-f(-3)}{-1-(-3)}=\frac{-1 + 5}{2}=2$,函数$f(x)=2x + 1$在区间$[0,5]$上的平均变化率$b=\frac{f(5)-f(0)}{5 - 0}=\frac{11 - 1}{5 - 0}=2$,所以$a = b$.

6. （教材变式）$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(1+\Delta x)^2 - 1}{\Delta x} $ 表示（ ）

A.曲线 $ y = x^2 $ 的切线斜率
B.曲线 $ y = x^2 $ 在点 $ (1,1) $ 处的切线斜率
C.曲线 $ y = -x^2 $ 的切线斜率
D.曲线 $ y = -x^2 $ 在点 $ (1,-1) $ 处的切线斜率

答案： 6. B 因为$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\Delta x)^{2}-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$,所以$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\Delta x)^{2}-1}{\Delta x}$表示$y = f(x)=x^{2}$在点$(1,1)$处的切线斜率.教材链接人教A版选择性必修二5.1.1练习1第1题

7. （学科融合）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直高度 $ h $（单位：m）与时间 $ t $（单位：s）之间的函数关系为 $ h(t)=2t^2 + 2t $，则下列说法正确的是（ ）

A.前 3 s 内球滚下的垂直高度的增量 $ \Delta h = 20 $ m
B.在时间段 $ [2,3] $ 内球滚下的垂直高度的增量 $ \Delta h = 12 $ m
C.前 3 s 内球在垂直方向上的平均速度为 8 m/s
D.第 2 s 时刻球在垂直方向上的瞬时速度为 10 m/s

答案： 7. BCD 前$3s$内,$\Delta t = 3s$,$\Delta h=h(3)-h(0)=24m$,此时球在垂直方向上的平均速度为$\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{24}{3}=8m/s$,故A错误，C正确;在时间段$[2,3]$内,$\Delta t = 1s$,$\Delta h=h(3)-h(2)=12m$,故B正确;因为$\frac{h(2+\Delta t)-h(2)}{\Delta t}=\frac{2(2+\Delta t)^{2}+2(2+\Delta t)-(2×2^{2}+2×2)}{\Delta t}=\frac{2(\Delta t)^{2}+10\Delta t}{\Delta t}=2\Delta t + 10$,所以$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta h}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}(2\Delta t + 10)=10$,则第$2s$时刻球在垂直方向上的瞬时速度为$10m/s$,故D正确.