《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 设 $ S_{n} $ 为等差数列$ \{ a_{n}\} $的前 $ n $ 项和. 若 $ a_{1}=1 $,公差 $ d = 2 $,$ S_{n}=25 $,则 $ n = $（ ）

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 1. B 因为$a_1=1,d=2$，所以$S_n=n+\frac{n(n-1)}{2} × 2=n^2=25$，解得$n=5$(舍负).

2. 设 $ S_{n} $ 是等差数列$ \{ a_{n}\} $的前 $ n $ 项和. 已知 $ a_{2}=3 $,$ a_{6}=11 $,则 $ S_{7}= $（ ）

A.13
B.35
C.49
D.63

答案： 2. C 解法1 $S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=\frac{7(a_2+a_6)}{2}=\frac{7 × (3+11)}{2}=49$.
解法2 由$\begin{cases}a_2=a_1+d=3,\\a_6=a_1+5d=11\end{cases}$得$\begin{cases}a_1=1,\\d=2,\end{cases}$所以$a_7=1+6 × 2=13$，所以$S_7=\frac{7 × (1+13)}{2}=49$.

3. 在等差数列$ \{ a_{n}\} $中,若 $ S_{12}=8S_{4} $,且 $ d \neq 0 $,则$ \frac{a_{1}}{d}= $（ ）

A.$ \frac{9}{10} $
B.$ \frac{10}{9} $
C.2
D.$ \frac{2}{3} $

答案： 3. A 由$S_{12}=8S_4$得$12a_1+\frac{12 × 11}{2}d=8\left(4a_1+\frac{4 × 3}{2}d\right)$
整理得$10a_1=9d$，即$\frac{a_1}{d}=\frac{9}{10}$.

4. (教材变式)已知公差不为零的等差数列$ \{ a_{n}\} $的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $. 若 $ S_{9}=3(a_{2}+a_{5}+a_{k}) $,则 $ k = $（ ）

A.8
B.10
C.11
D.12

答案： 4. A 设等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d(d \neq 0)$.因为$S_9=3(a_2+a_5+a_8)$，所以$9a_1+\frac{9 × 8}{2}d=3[a_1+d+a_1+4d+a_1+(k-1)d]=9a_1+3(k-1)d+15d$，整理得$21d=3(k-1)d$，解得$k=8$.
教材链接 人教A版选择性必修二4.2.2练习1第4题

5. 若等差数列$ \{ a_{n}\} $的前 7 项和为 48,前 14 项和为 72,则它的前 21 项和为（ ）

A.96
B.72
C.60
D.48

答案： 5. B 解法1 由$\begin{cases}S_7=7a_1+\frac{7 × 6}{2}d=48,\\S_{14}=14a_1+\frac{14 × 13}{2}d=72,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1=\frac{408}{49},\\d=-\frac{24}{49}\end{cases}$
所以$S_{21}=21 × \frac{408}{49}+\frac{21 × 20}{2} × \left(-\frac{24}{49}\right)=72$.
解法2 因为$S_n=a_1+a_2+·s+a_n$，$S_{14}-S_7=a_8+a_9+·s+a_{14}=S_7+7 × 7d$，$S_{21}-S_{14}=a_{15}+a_{16}+·s+a_{21}=S_7+7 × 14d$，所以$S_7,S_{14}-S_7,S_{21}-S_{14}$成等差数列，公差为$49d$.由等差中项的定义得$2(S_{14}-S_7)=S_7+S_{21}-S_{14}$，即$2 × (72-48)=48+S_{21}-72$，解得$S_{21}=72$.

6. (高频导向)已知两个等差数列$ \{ a_{n}\} $,$ \{ b_{n}\} $的前 $ n $ 项和分别为 $ S_{n} $,$ T_{n} $. 若$ \frac{S_{n}}{T_{n}}=\frac{2n}{3n + 1} $,则$ \frac{a_{5}}{b_{4}}= $（ ）

A.$ \frac{10}{13} $
B.$ \frac{9}{14} $
C.$ \frac{9}{11} $
D.$ \frac{2}{3} $

答案： 6. C 因为$\{a_n\},\{b_n\}$为等差数列，且$\frac{S_n}{T_n}=\frac{2n}{3n+1}$，所以设$S_n=2kn^2(k \neq 0)$，则$T_n=kn(3n+1)$，所以$a_5=S_5-S_4=50k-32k=18k$，$b_4=T_4-T_3=52k-30k=22k$，则$\frac{a_5}{b_4}=\frac{18k}{22k}=\frac{9}{11}$.
方法总结 等差数列前$n$项和$S_n$的一般设法
若$S_n$为等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和，则可设$S_n=An^2+Bn$.

7. 已知等差数列$ \{ a_{n}\} $的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $,公差为 $ d $,若 $ a_{2}=4 $,$ S_{5}=30 $,则下列结论正确的是（ ）

A.$ \{ a_{n}\} $是递减数列
B.$ d = 2 $
C.$ a_{1}=2 $
D.$ \frac{S_{4}}{a_{4}}=3 $

答案： 7. BC 由$\begin{cases}a_2=a_1+d=4,\\S_5=5a_1+10d=30,\end{cases}$得$a_1=d=2$.因为$d=2＞0$，所以$\{a_n\}$是递增数列，故A错误，B正确，C正确；$\frac{S_4}{a_4}=\frac{4(a_1+a_4)}{2}\frac{2}{a_1+3d}=\frac{2(2a_1+3d)}{a_1+3d}=\frac{5}{2}$，故D错误.

8. 已知等差数列$ \{ a_{n}\} $的公差 $ d \lt 0 $,前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $. 若 $ S_{6}=S_{10} $,则下列说法正确的是（ ）

A.$ a_{8} \gt 0 $
B.$ S_{16} \lt 0 $
C.$ a_{8}+a_{10} \gt 0 $
D.$ |a_{8}| \lt |a_{12}| $

答案： 8. AD 由题意，知$6a_1+15d=10a_1+45d$，所以$a_1=-\frac{15}{2}d$，则$a_n=a_1+(n-1)d=\left(n-\frac{17}{2}\right)d$，所以$a_8=\frac{1}{2}d＞0$，A正确；$S_{16}=16a_1+120d=16\left(a_1+\frac{15}{2}d\right)=0$，B错误；$a_8+a_{10}=\left(8-\frac{17}{2}\right)d+\left(10-\frac{17}{2}\right)d=d＜0$，C错误；因为$\left|a_8\right|=\left|\left(8-\frac{17}{2}\right)d\right|=-\frac{1}{2}d$，$\left|a_{12}\right|=\left|\left(12-\frac{17}{2}\right)d\right|=-\frac{7}{2}d$，所以$\left|a_8\right|＜\left|a_{12}\right|$，D正确.

9. 朱世杰是元代著名数学家,他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题. 现有 100 根相同的圆形铅笔,小明模仿“堆垛”问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于 2,且从最下面一层开始,每一层比上一层多 1 根,则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）

A.4
B.5
C.7
D.8

答案： 9. BD 根据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项(第一层的根数)为$a_1$，公差$d=1$，设一共放了$n(n \geqslant 2,n \in N^*)$层，则总根数$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=na_1+\frac{n(n-1)}{2}=100$，
整理得$2a_1=\frac{200}{n}+1-n$.因为$a_1 \in N^*,n \in N^*$，且$n \geqslant 2$，所以$n$为$200$的因数，$\frac{200}{n}+(1-n) \geqslant 2$且为偶数，验证可知$n=5,8$满足题意.