《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2025广东佛山联考]在公差大于0的等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{2}+a_{8}=10$，$a_{3}a_{7}=-11$，则该数列的公差为（ ）

A.$\frac{\sqrt{14}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{7}}{2}$
C.2
D.3

答案： 1. D 设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，则$a_2 + a_8 = 2a_5 = 10$，得$a_5 = 5$，所以$a_3a_7 = (a_5 - 2d)(a_5 + 2d) = a_5^2 - 4d^2 = 25 - 4d^2 = -11$，即$d^2 = 9$.又$d ＞ 0$，则$d = 3$.

2. [2025河南豫北名校期中联考]已知等差数列$\{ a_{n}\}$的公差$d≠0$，前$n$项和为$S_{n}$，若$a_{4}+a_{8}=\frac{S_{9}}{3}$，则$\frac{S_{9}}{a_{9}}=$（ ）

A.6
B.5
C.4
D.3

答案： 2. D 因为$a_4 + a_8 = \frac{S_9}{3}$，所以$3(a_4 + a_8) = S_9 = \frac{9(a_1 + a_9)}{2} = 9a_5$，所以$2a_6 = 3a_5$，即$2a_1 + 10d = 3a_1 + 12d$，所以$a_1 = -2d$，所以$\frac{S_9}{a_9} = \frac{9a_5}{a_1 + 8d} = \frac{9(a_1 + 4d)}{a_1 + 8d} = 3$.

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，满足$a_{1}=1$，$a_{2}=3$，$2\sqrt{S_{n}}=\sqrt{S_{n+1}}+\sqrt{S_{n-1}}(n≥2)$，则$a_{22}=$（ ）

A.43
B.42
C.41
D.40

答案： 3. A 由$2\sqrt{S_n} = \sqrt{S_{n + 1}} + \sqrt{S_{n - 1}}(n \geq 2)$知$\{\sqrt{S_n}\}$为等差数列.又$\sqrt{S_1} = \sqrt{a_1} = 1$，$\sqrt{S_2} = \sqrt{a_1 + a_2} = 2$，所以公差$d = 1$，所以$\sqrt{S_n} = 1 + 1 × (n - 1) = n$，故$S_n = n^2$.由$S_{n - 1} = (n - 1)^2(n \geq 2)$，可得$a_n = S_n - S_{n - 1} = n^2 - (n - 1)^2 = 2n - 1$.又$a_1 = 1$也满足，所以$a_n = 2n - 1$，则$a_{22} = 43$.

4. [2025山东淄博质量检测]设$S_{n}$为等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，则“$\forall n∈N^{*},a_{n+1}＞a_{n}$”是“$nS_{n+1}＞(n+1)S_{n}$”的（ ）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 4. C 设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，若$\forall n \in N^*$，$a_{n + 1} ＞ a_n$，则$a_{n + 1} - a_n = d ＞ 0$.所以$nS_{n + 1} - (n + 1)S_n = n(S_{n + 1} + a_{n + 1}) - (n + 1)S_n = n a_{n + 1} - S_n = n(a_1 + nd) - na_1 - \frac{n(n - 1)}{2}d = \frac{n^2 + n}{2}d ＞ 0$，即充分性成立.若$nS_{n + 1} ＞ (n + 1)S_n$，则$\frac{S_{n + 1}}{n + 1} ＞ \frac{S_n}{n}$，即$\{\frac{S_n}{n}\}$为递增数列.又因为$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$，所以$\frac{S_n}{n} = a_1 + \frac{n - 1}{2}d = \frac{d}{2}n + a_1 - \frac{d}{2}$，所以$\frac{d}{2} ＞ 0$，即$d ＞ 0$.所以$a_{n + 1} - a_n = d ＞ 0$，即必要性成立.所以“$\forall n \in N^*$，$a_{n + 1} ＞ a_n$”是“$nS_{n + 1} ＞ (n + 1)S_n$”的充要条件.

5. [多选题，2025辽宁大连段考]已知等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$，前$n$项和为$S_{n}$，且$m$，$n∈N^{*},m≠n$，则下列结论正确的是（ ）

A.$a_{n}-a_{m}=(n-m)d$
B.若$a_{n}=m$，$a_{m}=n$，则$a_{n+m}=0$
C.$\{ \frac{S_{n}}{n}\}$是公差为$2d$的等差数列
D.若$S_{n}=m$，$S_{m}=n$，则$S_{n+m}=-(m+n)$

答案： 5. ABD 由题意可知$a_n = a_1 + (n - 1)d$，$m, n \in N^*$，$m \neq n$.对于A，$a_n - a_m = a_1 + (n - 1)d - [a_1 + (m - 1)d] = (n - m)d$，A正确；对于B，由$a_n = m$，$a_m = n$，得$d = \frac{a_n - a_m}{n - m} = \frac{m - n}{n - m} = -1$，所以$a_{n + m} = a_m + [(n + m) - m]d = n + (-1) · n = 0$，B正确；对于C，由$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$，得$\frac{S_n}{n} = a_1 + \frac{d}{2}n - \frac{d}{2}$，所以$\frac{S_{n + 1}}{n + 1} - \frac{S_n}{n} = \frac{d}{2}$，即$\{\frac{S_n}{n}\}$是公差为$\frac{d}{2}$的等差数列，C错误；对于D，因为$S_n = m$，$S_m = n$，所以$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d = m$，$S_m = ma_1 + \frac{m(m - 1)}{2}d = n$，两式相减得$a_1 + \frac{n + m - 1}{2}d = -1$，所以$S_{n + m} = (n + m)a_1 + \frac{(n + m)(n + m - 1)}{2}d = (n + m) · (a_1 + \frac{n + m - 1}{2}d) = -(m + n)$，D正确.

6. [多选题]已知$\{ a_{n}\}$是等差数列，$S_{n}$是其前$n$项和，则下列结论正确的是（ ）

A.若$a_{1}+a_{2}=5$，$a_{3}+a_{4}=9$，则$a_{7}+a_{8}=18$
B.若$a_{2}+a_{11}=4$，则$S_{12}=24$
C.若$a_{1}＜0$，$S_{15}＜0$，则$S_{6}＜S_{5}$
D.若$\{ a_{n}\}$和$\{ a_{n}a_{n+1}\}$都为递增数列，则$a_{n}＞0$

答案： 6. BC 对于A，由$a_1 + a_2 = 5$，$a_3 + a_4 = 9$，得$(a_3 + a_4) - (a_1 + a_2) = 4d = 4$，所以$d = 1$.又$a_7 + a_8 = (a_1 + a_2) + 12d = 5 + 12 = 17 \neq 18$，所以A错误.对于B，因为$S_{12} = \frac{12(a_1 + a_{12})}{2} = \frac{12(a_2 + a_{11})}{2} = 24$，所以B正确.对于C，由$S_{15} = \frac{15(a_1 + a_{15})}{2} = 15a_8 ＜ 0$，得$a_8 ＜ 0$.又$a_1 ＜ 0$，得$a_n ＜ 0(n = 1, 2, ·s, 8)$，所以$S_6 - S_5 = a_6 ＜ 0$，所以C正确.对于D，因为$\{a_n\}$为递增数列，所以公差$d ＞ 0$.又$\{a_n a_{n + 1}\}$为递增数列，则$a_{n + 2}a_{n + 1} - a_n a_{n + 1} = a_{n + 1} · 2d ＞ 0$，所以对任意的$n \geq 2$，$a_n ＞ 0$，但$a_1$的正负无法确定，所以D错误.

7. 已知函数$f(x)$满足$f(x)+f(1-x)=2$。若数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n}=f(0)+f(\frac{1}{n})+... +f(\frac{n - 1}{n})+f(1)$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为______。

答案： 7. $a_n = n + 1$ 因为$a_n = f(0) + f(\frac{1}{n}) + ·s + f(\frac{n - 1}{n}) + f(1)$，$a_n = f(1) + f(\frac{n - 1}{n}) + ·s + f(\frac{1}{n}) + f(0)$，所以$2a_n = [f(0) + f(1)] + [f(\frac{1}{n}) + f(\frac{n - 1}{n})] + ·s + [f(1) + f(0)] = 2(n + 1)$，故$a_n = n + 1$.