《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 若$x,2x + 2,3x + 3$是一个等比数列的连续三项,则$x$的值为（ ）

A.$-4$
B.$-1$
C.$1$或$4$
D.$-1$或$-4$

答案： 1.A 由题意得$(2x+2)^{2}=x(3x+3)$，解得$x=-1$或$x=-4$.又等比数列各项不为$0$，所以$x=-1$舍去，所以$x=-4$.

2. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中,已知$a_{1}=\frac {9}{8},a_{n}=\frac {1}{3},q=\frac {2}{3}$,则$n$的值为（ ）

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： 2.B 由$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$得$\frac{1}{3}=\frac{9}{8} · (\frac{2}{3})^{n-1}$，解得$n=4$.

3. 在$2$和$8$之间插入$n$个正数,使这$(n + 2)$个数成等比数列,则该数列的公比为（ ）

A.$2^{\frac {1}{n}}$
B.$4^{\frac {1}{n}}$
C.$4^{\frac {1}{n + 1}}$
D.$2^{\frac {1}{n + 1}}$

答案： 3.C 设$a_{1}=2$，则$a_{n+2}=8$，所以$q^{n+1}=\frac{a_{n+2}}{a_{1}}=4$，所以$q^{1}q=4^{\frac{1}{n+1}}$.（此处原书可能印刷错误，应为$q = 4^{\frac{1}{n + 1}}$相关推导，按$q^{n+1}=4$，若求$q$需结合$n$值，此处先保留原样）所以$q = 4^{\frac{1}{n+1}}$.

4. (易错易混)在等比数列$\{ a_{n}\}$中,已知$a_{1}=1,a_{5}=9$,则$a_{3}=$（ ）

A.$5$
B.$\pm 5$
C.$\pm 3$
D.$3$

答案： 4.D 因为在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1,a_{5}=9$，设公比为$q$，所以$a_{5}=a_{1}q^{4}=q^{4}=9$，则$q^{2}=3$，所以$a_{3}=a_{1}q^{2}=3$.
易错警示 在等比数列中，易忽略奇数项同号.
用$a_{1}a_{5}=a_{3}^{2}$求出$a_{3}=\pm3$，易忽略$a_{1},a_{3},a_{5}$同号.

5. (教材变式)在数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{1}=1024$,若点$(n,a_{n})$在函数$y = a(\frac {1}{2})^{x}(a\in R)$的图象上,则$a_{10}=$（ ）

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

答案： 5.A 由题得$a_{n}=a(\frac{1}{2})^{n}(a\in \mathbf{R})$，则$a_{1}=\frac{a}{2}=1024$，解得$a = 2048$，所以$a_{n}=2048(\frac{1}{2})^{n}=(\frac{1}{2})^{n - 11}$，则$a_{10}=(\frac{1}{2})^{10 - 11}=2$.
教材链接 人教A版选择性必修二4.3.1练习1第4题

6. 已知正项等比数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{7}=a_{6}+2a_{5}$,若存在两项$a_{m},a_{n}$,使得$\sqrt {a_{m}a_{n}}=4a_{1}$,则$m + n$的值为（ ）

A.$10$
B.$6$
C.$4$
D.不存在

答案： 6.B 因为$a_{7}=a_{6}+2a_{5}$，所以$a_{5}q^{2}=a_{5}q + 2a_{5}$，又$a_{5}\neq0$，所以$q^{2}=q + 2$，解得$q = 2$或$q=-1$.又$a_{n}＞0$，所以$q = 2$.
因为$\sqrt{a_{m}a_{n}}=4a_{1}$，所以$a_{m}a_{n}=16a_{1}^{2}$，所以$a_{1}^{2}q^{m - 1}· q^{n - 1}=16a_{1}^{2}$，所以$q^{m + n - 2}=16$，即$2^{m + n - 2}=2^{4}$，所以$m + n = 6$.

7. 对任意等比数列$\{ a_{n}\}$,下列说法正确的是（ ）

A.$a_{1},a_{3},a_{9}$成等比数列
B.$a_{2},a_{3},a_{6}$成等比数列
C.$a_{2},a_{5},a_{8}$成等比数列
D.$a_{3},a_{6},a_{9}$成等比数列

答案： 7.CD 从项的序号寻找规律，序号成等差数列，对应的项成等比数列.所以$a_{2},a_{5},a_{8}$成等比数列，$a_{3},a_{6},a_{9}$成等比数列，故选项C,D正确.

8. 已知数列$\{ a_{n}\}$是单调递增的等比数列,且$a_{2}+a_{4}=10,a_{1}a_{5}=16$,则（ ）

A.$a_{1}=2$
B.$a_{n}=2^{n - 1}$
C.$a_{1}$与$a_{5}$的等比中项为$4$
D.数列$\{ \lg a_{n}\}$是公差为$\lg 2$的等差数列

答案： 8.BD 因为$\{ a_{n}\}$是单调递增的等比数列，所以$a_{1}a_{5}=a_{2}a_{4}=16$.又$a_{2}+a_{4}=10$，所以$\begin{cases}a_{2}=2,\\a_{4}=8.\end{cases}$或$\begin{cases}a_{2}=8,\\a_{4}=2.\end{cases}$(舍去)，
则数列$\{ a_{n}\}$的公比$q = 2(q=-2$舍去$)$，$a_{1}=1$，$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}=2^{n - 1}$，则$a_{5}=16$，$a_{1}$与$a_{5}$的等比中项为$\pm4$，所以A,C错误，B正确；因为$\lg a_{n + 1}-\lg a_{n}=\lg 2^{n}-\lg 2^{n - 1}=\lg 2$，所以数列$\{\lg a_{n}\}$是公差为$\lg 2$的等差数列，所以D正确.

9. 已知数列$\{ a_{n}\}$是等比数列,则下列结论错误的是（ ）

A.若$a_{1}=1,a_{3}=4$,则$a_{5}=7$
B.若$a_{1}+a_{3}＞0$,则$a_{2}+a_{4}＞0$
C.若$a_{2}＞a_{1}$,则$a_{3}＞a_{2}$
D.若$a_{2}＞a_{1}＞0$,则$a_{1}+a_{3}＞2a_{2}$

答案： 9.ABC 若$a_{1}=1,a_{3}=4$，则$q^{2}=\frac{a_{3}}{a_{1}}=4,a_{5}=a_{3}q^{2}=16$，故
A错误.取$a_{1}=1,q=-2$，满足$a_{1}+a_{3}＞0$，可得$a_{2}+a_{4}=-2 - 8=-10＜0$，故B错误.取$a_{1}=-1,q=-2$，满足$a_{2}＞a_{1}$，可得$a_{2}=2,a_{3}=-4$，即$a_{3}＜a_{2}$，故C错误.若$a_{2}＞a_{1}＞0$，则$q＞1$，可得$a_{1}+a_{3}=a_{1}+a_{1}q^{2}=a_{1}(1 + q^{2})$，$2a_{2}=2a_{1}q$，$a_{1}+a_{3}-2a_{2}=a_{1}(1 + q^{2}-2q)=a_{1}(q - 1)^{2}＞0$，$a_{1}+a_{3}＞2a_{2}$，故D正确.

10. 已知等比数列$\{ a_{n}\}$的各项均为正数,且满足$a_{2}=2,a_{8}=a_{3}· a_{5}$,则公比$q=$____.

答案： 10.$\sqrt{2}$ 由$a_{8}=a_{3}· a_{5}$，得$a_{2}q^{6}=a_{2}q· a_{2}q^{3}$，即$q^{2}=a_{2}=2$，解得$q=\pm\sqrt{2}$.又数列$\{ a_{n}\}$的各项均为正数，故$q=\sqrt{2}$.

11. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{2}=2,a_{3}=6$,且数列$\{ a_{n}+2n\}$为等比数列,则$a_{4}=$____.

答案： 11.16 因为数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{2}=2,a_{3}=6$，且数列$\{ a_{n}+2n\}$为等比数列，所以公比$q=\frac{a_{3}+6}{a_{2}+4}=2$，故$a_{4}+8=(a_{3}+6)· q=12×2=24$，则$a_{4}=16$.

12. (教材变式)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是$16$,第二个数与第三个数的和是$12$,则这四个数为____.

答案： 12.$0,4,8,16$或$15,9,3,1$ 解法1 设这四个数依次为$a - d,a,a + d,\frac{(a + d)^{2}}{a}$，由条件得$\begin{cases}a - d+\frac{(a + d)^{2}}{a}=16,\\a + a + d=12,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 4,\\d = 4\end{cases}$或$\begin{cases}a = 9,\\d=-6\end{cases}$.当$a = 4,d = 4$时，四个数分别为$0,4,8,16$；当$a = 9,d=-6$时，四个数分别为$15,9,3,1$.故所求的四个数分别为$0,4,8,16$或$15,9,3,1$.
解法2 设这四个数依次为$\frac{2a}{q}-a,\frac{a}{q},a,aq(q\neq0)$，则$\begin{cases}\frac{2a}{q}-a+aq=16,\frac{a}{q}+a=12,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 8,\\q = 2\end{cases}$或$\begin{cases}a = 3,\\q=\frac{1}{3}\end{cases}$.当$a = 8,q = 2$时，四个数分别为$0,4,8,16$；当$a = 3,q=\frac{1}{3}$时，四个数分别为$15,9,3,1$.故所求的四个数分别为$0,4,8,16$或$15,9,3,1$.
教材链接 人教A版选择性必修二4.3.1例3