《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

1. (易错易混)下列命题为真命题的是( )

A.一个函数的极大值总是比极小值大
B.函数的导数为 0 时对应的点不一定是极值点
C.一个函数的极大值总比最大值小
D.一个函数的最大值可以比最小值小

答案： 1. B 根据极值与最值的相关知识易知A,C,D错误，而B中,如$f(x)=x^{3},f'(x)=3x^{2}=0$得$x=0$,但是$x=0$不是它的极值点.

2. 已知函数 $ f(x)=-x^{3}+3x + 1 $,则 $ f(x) $在区间 $ \left[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right] $上的最小值为( )

A.$-2$
B.$-1$
C.$-\frac{1}{8}$
D.$\frac{17}{8}$

答案： 2. B 因为$f'(x)=-3x^{2}+3=-3(x+1)(x-1)$,所以当$-\frac{3}{2}＜x＜-1$或$1＜x＜\frac{3}{2}$时,$f'(x)＜0$,当$-1＜x＜1$时,$f'(x)＞0$,则$f(x)$在$(-\frac{3}{2},-1),(1,\frac{3}{2})$上单调递减,在$(-1,1)$上单调递增,所以$f(x)$在$x=-1$处取得极小值.又$f(-1)=-1,f(\frac{3}{2})=\frac{17}{8}$,所以$f(x)$在区间$\left[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]$上的最小值为$-1$.

3. 函数 $ y = x\ln x $的最小值为( )

A.$-\mathrm{e}^{-1}$
B.$-\mathrm{e}$
C.$\mathrm{e}^{2}$
D.$-\frac{10}{3}$

答案： 3. A 由题意得$y'=\ln x+1$.令$y'=0$,即$\ln x+1=0$,解得$x=e^{-1}$.当$0＜x＜\frac{1}{e}$时,$y'＜0$;当$x＞\frac{1}{e}$时,$y'＞0$,所以当$x=\frac{1}{e}$时,函数取得唯一的极小值也是最小值,为$y=e^{-1}\ln e^{-1}=-e^{-1}$.

4. 已知函数 $ f(x),g(x) $的定义域均为 $[a,b]$,且 $ f'(x) \lt g'(x) $,则 $ f(x)-g(x) $的最大值为( )

A.$ f(a)-g(a) $
B.$ f(b)-g(b) $
C.$ f(a)-g(b) $
D.$ f(b)-g(a) $

答案： 4. A 令$h(x)=f(x)-g(x)$,则$h'(x)=f'(x)-g'(x)$.因为$f'(x)＜g'(x)$,所以$h'(x)＜0$,即函数$h(x)$是减函数,所以函数$h(x)=f(x)-g(x)$在$[a,b]$上的最大值为$h(a)=f(a)-g(a)$.

5. 函数 $ f(x)=x^{4}-4x(|x| \lt 1) $( )

A.有最大值,无最小值
B.既有最大值,又有最小值
C.无最大值,有最小值
D.既无最大值,也无最小值

答案： 5. D $f'(x)=4x^{3}-4=4(x-1)(x^{2}+x+1)$.令$f'(x)=0$,解得$x=1$.又$x\in(-1,1)$,所以方程无解,故$f(x)$在$(-1,1)$上既无极值也无最值.

6. 函数 $ f(x)=3x - x^{3} $在 $[0,m]$上的最大值为 2,最小值为 0,则实数 $ m $的取值范围是( )

A.$[1,\sqrt{3}]$
B.$[1,+\infty)$
C.$(1,\sqrt{3}]$
D.$(1,+\infty)$

答案： 6. A $f'(x)=3-3x^{2}=3(1+x)(1-x)$.令$f'(x)=0$,则$x=1$或$x=-1$(舍负).当$0\leq x＜1$时,$f'(x)＞0$,$f(x)$单调递增;当$x＞1$时,$f'(x)＜0$,$f(x)$单调递减.又$f(0)=f(\sqrt{3})=0$,$f(1)=2$,所以$1\leq m\leq\sqrt{3}$.

7. 已知函数 $ f(x)=x\mathrm{e}^{x} $,则( )

A.$ f(x) $有两个单调区间
B.$ f(x) $有两个极值点
C.$ f(x) $有最小值 $ -\frac{1}{\mathrm{e}} $
D.$ f(x) $有最大值 $\mathrm{e}$

答案： 7. AC 由已知得$f'(x)=(x+1)e^{x}$,由$f'(x)＞0$解得$x＞-1$,由$f'(x)＜0$解得$x＜-1$,所以$f(x)$在$(-\infty,-1)$上单调递减,在$(-1,+\infty)$上单调递增,所以$f(x)$只有一个极值点$-1$,且在$x=-1$处取得极小值也是最小值$f(-1)=-\frac{1}{e}$,无最大值.

8. 若函数 $ f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}-\frac{2}{3} $在区间 $ (a - 1,a + 4) $上存在最小值,则整数 $ a $可以取( )

A.$-3$
B.$-2$
C.$-1$
D.$0$

答案： 8. BCD 因为$f'(x)=x^{2}+2x=x(x+2)$,所以$f(x)$在$(-\infty,-2),(0,+\infty)$上单调递增,在$(-2,0)$上单调递减,作出其大致图象，如图所示.令$\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}-\frac{2}{3}=-\frac{2}{3}$,得$x=0$或$x=-3$,结合图象可知$\begin{cases}-3\leq a-1＜0,\\a+4＞0,\end{cases}$解得$-2\leq a＜1$.又$a\in\mathbf{Z}$,所以$a$可以取$-2,-1,0$.

9. 如图,函数 $ y = f(x) $在点 $ P(x_{0},f(x_{0})) $处的切线为 $ l:y = g(x) $.设 $ h(x)=f(x)-g(x) $,则下列说法错误的是( )


A.$ \exists x\in\mathbf{R},h(x) \gt 0 $
B.$ \forall x\in\mathbf{R},h'(x) \lt 0 $
C.$ h'(x_{0}) = 0,x = x_{0} $是 $ h(x) $的极大值点
D.$ h'(x_{0}) = 0,x = x_{0} $是 $ h(x) $的极小值点

答案： 9. ABD 因为$y=f(x)$在点$P(x_{0},f(x_{0}))$处的切线为$y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})$,即$g(x)=f'(x_{0})x-x_{0}f'(x_{0})+f(x_{0})$,则$h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f'(x_{0})x+x_{0}f'(x_{0})-f(x_{0})$,于是$h'(x)=f'(x)-f'(x_{0})$.由题图知,当$x＜x_{0}$时,$f'(x)＞f'(x_{0})$,此时$h'(x)＞0$,当$x＞x_{0}$时,$f'(x)＜f'(x_{0})$,此时$h'(x)＜0$,故B错误;由上分析,当$x＜x_{0}$时,$h(x)$单调递增,当$x＞x_{0}$时,$h(x)$单调递减,即当$x=x_{0}$时,$h(x)$取得极大值,且$h'(x_{0})=0$,故C正确,D错误;由上分析知,当$x=x_{0}$时,$h(x)$取得极大值$h(x_{0})=0$,也是最大值,则有$\forall x\in\mathbf{R},h(x)\leq0$,故A错误.