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2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
10. 已知函数 $ f(x)=\frac{x^{2}+3x + 3}{e^{x}} $，则该函数的极小值为______。
答案：
10. e 由题意得$f^{\prime}(x)=\frac{-x(x + 1)}{e^{x}}$.令$f^{\prime}(x)=0$，得$x = 0$或$x = - 1$.当$x ＜ - 1$或$x＞0$时，$f^{\prime}(x)＜0$；当$-1 ＜ x ＜ 0$时，$f^{\prime}(x)＞0$。所以$f(x)$在$( - \infty, - 1)$，$(0, + \infty)$上单调递减，在$( - 1,0)$上单调递增，所以$f(x)$的极小值为$f( - 1)=e$.
11. 若函数 $ f(x)=e^{x}+ax $ 有大于零的极值点，则实数 $ a $ 的取值范围是______。
答案：
11. $( - \infty, - 1)$ 由题意得$f^{\prime}(x)=e^{x}+a = 0$在$(0, + \infty)$上有解.当$x＞0$时，可得$a = - e^{x}＜-1$，故实数$a$的取值范围是$( - \infty, - 1)$.
12. 若 $ x = a $ 是函数 $ f(x)=(x - a)^{2}(x - 1) $ 的极小值点，则实数 $ a $ 的取值范围是______。
答案：
12. $(1, + \infty)$ 由题意得$f^{\prime}(x)=2(x - a)(x - 1)+(x - a)^{2}=(3x - a - 2)(x - a)$.令$f^{\prime}(x)=0$，得$x = a$或$x = \frac{a + 2}{3}$.因为$x = a$是函数$f(x)=(x - a)^{2}(x - 1)$的极小值点，所以$\frac{a + 2}{3}＜a$，解得$a＞1$.
13. 求下列函数的极值点和极值：
(1) $ f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x + 3 $；
(2) $ f(x)=\frac{3}{x}+3\ln x $。
(1) $ f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x + 3 $；
(2) $ f(x)=\frac{3}{x}+3\ln x $。
答案：
13. 解：
(1)$f^{\prime}(x)=x^{2}-2x - 3$.令$f^{\prime}(x)=x^{2}-2x - 3 = 0$，得$x = 3$或$x = - 1$.当$x$变化时，$f^{\prime}(x)$，$f(x)$的变化情况如表所示.
$x$ $( - \infty, - 1)$ $-1$ $( - 1,3)$ $3$ $(3, + \infty)$
$f^{\prime}(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ $\nearrow$ 极大值$\frac{14}{3}$ $\searrow$ 极小值$-6$ $\nearrow$
所以$-1$是函数$f(x)$的极大值点，极大值为$\frac{14}{3}$，$3$是函数$f(x)$的极小值点，极小值为$-6$.
(2) 函数$f(x)=\frac{3}{x}+3\ln x$的定义域为$(0, + \infty)$，$f^{\prime}(x)=-\frac{3}{x^{2}}+\frac{3}{x}=\frac{3(x - 1)}{x^{2}}$.令$f^{\prime}(x)=\frac{3(x - 1)}{x^{2}}=0$，得$x = 1$.当$x$变化时，$f^{\prime}(x)$，$f(x)$的变化情况如表所示.
$x$ $(0,1)$ $1$ $(1, + \infty)$
$f^{\prime}(x)$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ $\searrow$ 极小值$3$ $\nearrow$
所以$1$是函数$f(x)$的极小值点，极小值为$3$，无极大值点和极大值.
(1)$f^{\prime}(x)=x^{2}-2x - 3$.令$f^{\prime}(x)=x^{2}-2x - 3 = 0$，得$x = 3$或$x = - 1$.当$x$变化时，$f^{\prime}(x)$，$f(x)$的变化情况如表所示.
$x$ $( - \infty, - 1)$ $-1$ $( - 1,3)$ $3$ $(3, + \infty)$
$f^{\prime}(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ $\nearrow$ 极大值$\frac{14}{3}$ $\searrow$ 极小值$-6$ $\nearrow$
所以$-1$是函数$f(x)$的极大值点，极大值为$\frac{14}{3}$，$3$是函数$f(x)$的极小值点，极小值为$-6$.
(2) 函数$f(x)=\frac{3}{x}+3\ln x$的定义域为$(0, + \infty)$，$f^{\prime}(x)=-\frac{3}{x^{2}}+\frac{3}{x}=\frac{3(x - 1)}{x^{2}}$.令$f^{\prime}(x)=\frac{3(x - 1)}{x^{2}}=0$，得$x = 1$.当$x$变化时，$f^{\prime}(x)$，$f(x)$的变化情况如表所示.
$x$ $(0,1)$ $1$ $(1, + \infty)$
$f^{\prime}(x)$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ $\searrow$ 极小值$3$ $\nearrow$
所以$1$是函数$f(x)$的极小值点，极小值为$3$，无极大值点和极大值.
14. 已知函数 $ f(x)=x^{2}+a\ln(x + 2) $。
(1) 当 $ a = -6 $ 时，求函数 $ y = f(x) $ 的极值点；
(2) 若 $ f(x) $ 有两个不同的极值点 $ x_{1},x_{2} $，且 $ x_{1}＜x_{2} $，求实数 $ a $ 的取值范围。
(1) 当 $ a = -6 $ 时，求函数 $ y = f(x) $ 的极值点；
(2) 若 $ f(x) $ 有两个不同的极值点 $ x_{1},x_{2} $，且 $ x_{1}＜x_{2} $，求实数 $ a $ 的取值范围。
答案：
14. 解：
(1) 当$a = - 6$时，$f(x)=x^{2}-6\ln(x + 2)(x＞- - 2)$，则$f^{\prime}(x)=2x-\frac{6}{x + 2}=\frac{2x^{2}+4x - 6}{x + 2}=\frac{2(x + 3)(x - 1)}{x + 2}$ $(x＞ - 2)$.当$x$变化时，$f^{\prime}(x)$，$f(x)$的变化情况如表所示.
$x$ $( - 2,1)$ $1$ $(1, + \infty)$
$f^{\prime}(x)$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ $\searrow$ 极小值$1 - 6\ln 3$ $\nearrow$
所以$1$是函数$f(x)$的极小值点，无极大值点.
(2) $f(x)$在$( - 2, + \infty)$上有两个不同的极值点$x_{1}$，$x_{2}$，即$f^{\prime}(x)=2x+\frac{a}{x + 2}=\frac{2x^{2}+4x + a}{x + 2}=0$在$( - 2, + \infty)$上有两个不同的解，即$2x^{2}+4x + a = 0$在$( - 2, + \infty)$上有两个不同的解.令$h(x)=2x^{2}+4x + a$，则$h(x)=0$在$( - 2, + \infty)$上有两个不同的解，$h(x)$的图象的对称轴为直线$x = - 1$，由根的分布可得$\begin{cases}h( - 1)＜0,\\a＜2,\\h( - 2)＞0,\end{cases}$所以$\begin{cases}a＜2,\\a＞0,\end{cases}$即实数$a$的取值范围是$(0,2)$.
核心笔记
1. 易混：在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.（练习运用：第1，11题）
2. 极值点处的导数为$0$，导数为$0$的点不一定是极值点.（练习运用：第6题）
3. 求函数$y = f(x)$的极值的方法：
解方程$f^{\prime}(x)=0$.当$f^{\prime}(x_{0})=0$时，如果在$x_{0}$附近的左侧$f^{\prime}(x)＞0$，右侧$f^{\prime}(x)＜0$，那么$f(x_{0})$是极大值；如果在$x_{0}$附近的左侧$f^{\prime}(x)＜0$，右侧$f^{\prime}(x)＞0$，那么$f(x_{0})$是极小值.
4. 已知函数极值的情况，在逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1) 根据极值点处导数为$0$和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2) 因为导函数为零不是此点是极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.（练习运用：第6题）
5. 函数的极值是函数的局部性质，可导函数$f(x)$在点$x = x_{0}$处取得极值的充要条件是$f^{\prime}(x_{0})=0$，且在$x = x_{0}$两侧$f^{\prime}(x)$符号相反.（练习运用：第7题）
(1) 当$a = - 6$时，$f(x)=x^{2}-6\ln(x + 2)(x＞- - 2)$，则$f^{\prime}(x)=2x-\frac{6}{x + 2}=\frac{2x^{2}+4x - 6}{x + 2}=\frac{2(x + 3)(x - 1)}{x + 2}$ $(x＞ - 2)$.当$x$变化时，$f^{\prime}(x)$，$f(x)$的变化情况如表所示.
$x$ $( - 2,1)$ $1$ $(1, + \infty)$
$f^{\prime}(x)$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ $\searrow$ 极小值$1 - 6\ln 3$ $\nearrow$
所以$1$是函数$f(x)$的极小值点，无极大值点.
(2) $f(x)$在$( - 2, + \infty)$上有两个不同的极值点$x_{1}$，$x_{2}$，即$f^{\prime}(x)=2x+\frac{a}{x + 2}=\frac{2x^{2}+4x + a}{x + 2}=0$在$( - 2, + \infty)$上有两个不同的解，即$2x^{2}+4x + a = 0$在$( - 2, + \infty)$上有两个不同的解.令$h(x)=2x^{2}+4x + a$，则$h(x)=0$在$( - 2, + \infty)$上有两个不同的解，$h(x)$的图象的对称轴为直线$x = - 1$，由根的分布可得$\begin{cases}h( - 1)＜0,\\a＜2,\\h( - 2)＞0,\end{cases}$所以$\begin{cases}a＜2,\\a＞0,\end{cases}$即实数$a$的取值范围是$(0,2)$.
核心笔记
1. 易混：在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.（练习运用：第1，11题）
2. 极值点处的导数为$0$，导数为$0$的点不一定是极值点.（练习运用：第6题）
3. 求函数$y = f(x)$的极值的方法：
解方程$f^{\prime}(x)=0$.当$f^{\prime}(x_{0})=0$时，如果在$x_{0}$附近的左侧$f^{\prime}(x)＞0$，右侧$f^{\prime}(x)＜0$，那么$f(x_{0})$是极大值；如果在$x_{0}$附近的左侧$f^{\prime}(x)＜0$，右侧$f^{\prime}(x)＞0$，那么$f(x_{0})$是极小值.
4. 已知函数极值的情况，在逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1) 根据极值点处导数为$0$和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2) 因为导函数为零不是此点是极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.（练习运用：第6题）
5. 函数的极值是函数的局部性质，可导函数$f(x)$在点$x = x_{0}$处取得极值的充要条件是$f^{\prime}(x_{0})=0$，且在$x = x_{0}$两侧$f^{\prime}(x)$符号相反.（练习运用：第7题）
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