《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

8. [2025江苏苏北七市第三次调研测试改编]已知数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，记其前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{3}=a_{5}$，$a_{2n}=2a_{n}+\frac{1}{4}$。
(1) 求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2) 将数列$\{ a_{n}\}$与$\{\sqrt{S_{n}}\}$中的所有项按从小到大排列得到数列$\{ b_{n}\}$，求$\{ b_{n}\}$的前20项和。

答案： 8. 解：
(1) 设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，由$S_3 = a_5$，得$3a_1 + 3d = a_1 + 4d$，即$2a_1 = d$；由$a_{2n} = 2a_n + \frac{1}{4}$，取$n = 1$，得$a_2 = 2a_1 + \frac{1}{4} = a_1 + d$，即$a_1 = d - \frac{1}{4}$.联立解得$a_1 = \frac{1}{4}$，$d = \frac{1}{2}$，所以$a_n = \frac{1}{2}n - \frac{1}{4}$.
(2) 由
(1)知，$S_n = \frac{1}{4}n + \frac{n(n - 1)}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}n^2$，所以$\sqrt{S_n} = \frac{1}{2}n = \frac{2n}{4}$.因为$a_n = \frac{1}{2}n - \frac{1}{4} = \frac{2n - 1}{4}$，所以$b_n = \frac{1}{4}n$，所以$\{b_n\}$的前$20$项和为$20 × \frac{1}{4} + \frac{20 × 19}{2} × \frac{1}{4} = \frac{105}{2}$.

9. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$na_{n+1}=(n+1)a_{n}+2n(n+1)$。设$b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$。
(1) 判断数列$\{ b_{n}\}$是否为等差数列，并请说明理由；
(2) 若$a_{n}$是数列$\{ c_{n}\}$的前$n$项和，求数列$\{ 3b_{n}-2c_{n}\}$的前$n$项和。

答案： 9. 解：
(1) 由题意得$\frac{a_{n + 1}}{n + 1} - \frac{a_n}{n} = 2$，即$b_{n + 1} - b_n = 2$，故数列$\{b_n\}$为等差数列.
(2) 由
(1)知，数列$\{b_n\}$是首项为$b_1 = \frac{a_1}{1} = 1$，公差为$2$的等差数列，故$b_n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1$，即$\frac{a_n}{n} = 2n - 1$，则$a_n = 2n^2 - n$.又$a_n$是数列$\{c_n\}$的前$n$项和，故$c_1 = a_1 = 1$，当$n \geq 2$时，$c_n = a_n - a_{n - 1} = 2n^2 - n - [2(n - 1)^2 - (n - 1)] = 4n - 3$，$c_1 = 1$满足上式.故$c_n = 4n - 3$.所以$3b_n - 2c_n = -2n + 3$，即$\{3b_n - 2c_n\}$为等差数列，所以$\{3b_n - 2c_n\}$的前$n$项和$S_n = \frac{n(1 - 2n + 3)}{2} = -n^2 + 2n$.