《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

13. 已知在等比数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{2}=4,a_{5}=256$.
(1) 求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2) 令$b_{n}=\log _{2}a_{n}$,求数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$.

答案： 13.解：
(1)设数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公比为$q$.由题意，得$\begin{cases}a_{1}q = 4,\\a_{1}q^{4}=256,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_{1}=1,\\q = 4,\end{cases}$所以$a_{n}=4^{n - 1}$.
(2)由$a_{n}=4^{n - 1}$，得$b_{n}=\log_{2}a_{n}=2n - 2$，所以$b_{n + 1}-b_{n}=2$，即$\{ b_{n}\}$为等差数列.又$b_{1}=\log_{2}1 = 0$，所以$S_{n}=\frac{n(0 + 2n - 2)}{2}=n^{2}-n$.

14. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{9}=4,\frac {a_{6}+a_{7}}{a_{3}+a_{4}}=\frac {1}{8}$.
(1) 求$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2) 设$T_{n}=a_{1}a_{2}· ·s · a_{n}$,求$T_{n}$的最大值.

答案： 14.解：
(1)设$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，因为$\frac{a_{6}+a_{7}}{a_{3}+a_{4}}=\frac{(a_{3}+a_{4})q^{3}}{a_{3}+a_{4}}=q^{3}=\frac{1}{8}$，所以$q=\frac{1}{2}$，所以$a_{n}=a_{9}q^{n - 9}=4×(\frac{1}{2})^{n - 9}=2^{11 - n}$.
(2)因为$a_{n}=2^{11 - n}$，所以$T_{n}=a_{1}a_{2}·s a_{n}=2^{10 + 9 + 8+·s+(11 - n)}=\frac{(21 - n)n}{2}$.又二次函数$y=\frac{(21 - x)x}{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{21}{2}x$的图象
的对称轴为直线$x=\frac{21}{2}$，故当$n = 10$或$11$时，$T_{n}$最大，最大值为$2^{55}$.