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2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
13. 在等比数列$ \{ a_{n}\} $中,已知 $ a_{1}=2 $,且 $ a_{2},a_{1}+a_{3},a_{4} $ 依次是等差数列$ \{ b_{n}\} $的第 2 项、第 5 项、第 8 项.
(1) 求数列$ \{ a_{n}\} $的前 $ n $ 项和 $ S_{n} $;
(2) 若 $ c_{n}=(\sqrt{3})^{b_{n}} $,求 $ c_{n}+a_{1}c_{n - 1}+a_{2}c_{n - 2}+·s +a_{n - 1}c_{1}+a_{n} $.
(1) 求数列$ \{ a_{n}\} $的前 $ n $ 项和 $ S_{n} $;
(2) 若 $ c_{n}=(\sqrt{3})^{b_{n}} $,求 $ c_{n}+a_{1}c_{n - 1}+a_{2}c_{n - 2}+·s +a_{n - 1}c_{1}+a_{n} $.
答案：
13.解：
(1)设数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，而等差数列$\{ b_{n}\}$的第2项、第5项、第8项成等差数列，则$2(a_{1} + a_{3}) = a_{2} + a_{4}$，即$2(a_{1} + a_{1}q^{2}) = a_{1}q + a_{1}q^{3}$，即$2a_{1}(1 + q^{2}) = a_{1}q(1 + q^{2})$，解得$q = 2$.又$a_{1} = 2$，所以$S_{n} = \frac{2(1 - 2^{n})}{1 - 2} = 2^{n + 1} - 2$.
(2)由
(1)知$a_{n} = a_{1}q^{n - 1} = 2^{n}$，所以$b_{2} = a_{2} = 4$，$b_{8} = a_{4} = 16$，即等差数列$\{ b_{n}\}$的公差$d = \frac{b_{8} - b_{2}}{8 - 2} = 2$，所以$b_{n} = b_{2} + (n - 2)d = 2n$，则$c_{n} = (\sqrt{3})^{b_{n}} = 3^{n}$，所以$c_{n} + a_{1}c_{n - 1} + a_{2}c_{n - 2} + ·s + a_{n - 1}c_{1} + a_{n} = 3^{n} + 2 · 3^{n - 1} + 2^{2} · 3^{n - 2} + ·s + 2^{n - 1} · 3 + 2^{n} = 3^{n} · \left(1 + \frac{2}{3} + \frac{2^{2}}{3^{2}} + ·s + \frac{2^{n}}{3^{n}}\right) = 3^{n} · \frac{1 - \left( \frac{2}{3} \right)^{n + 1}}{1 - \frac{2}{3}} = 3^{n + 1} - 2^{n + 1}$.
(1)设数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，而等差数列$\{ b_{n}\}$的第2项、第5项、第8项成等差数列，则$2(a_{1} + a_{3}) = a_{2} + a_{4}$，即$2(a_{1} + a_{1}q^{2}) = a_{1}q + a_{1}q^{3}$，即$2a_{1}(1 + q^{2}) = a_{1}q(1 + q^{2})$，解得$q = 2$.又$a_{1} = 2$，所以$S_{n} = \frac{2(1 - 2^{n})}{1 - 2} = 2^{n + 1} - 2$.
(2)由
(1)知$a_{n} = a_{1}q^{n - 1} = 2^{n}$，所以$b_{2} = a_{2} = 4$，$b_{8} = a_{4} = 16$，即等差数列$\{ b_{n}\}$的公差$d = \frac{b_{8} - b_{2}}{8 - 2} = 2$，所以$b_{n} = b_{2} + (n - 2)d = 2n$，则$c_{n} = (\sqrt{3})^{b_{n}} = 3^{n}$，所以$c_{n} + a_{1}c_{n - 1} + a_{2}c_{n - 2} + ·s + a_{n - 1}c_{1} + a_{n} = 3^{n} + 2 · 3^{n - 1} + 2^{2} · 3^{n - 2} + ·s + 2^{n - 1} · 3 + 2^{n} = 3^{n} · \left(1 + \frac{2}{3} + \frac{2^{2}}{3^{2}} + ·s + \frac{2^{n}}{3^{n}}\right) = 3^{n} · \frac{1 - \left( \frac{2}{3} \right)^{n + 1}}{1 - \frac{2}{3}} = 3^{n + 1} - 2^{n + 1}$.
14. 已知数列$ \{ a_{n}\} $满足 $ a_{1}=3 $,$ a_{n}a_{n + 1}=9× 2^{2n - 1} $.
(1) 求数列$ \{ a_{n}\} $的通项公式;
(2) 求证:数列$ \{ a_{n}\} $中的任意三项均不能构成等差数列.
(1) 求数列$ \{ a_{n}\} $的通项公式;
(2) 求证:数列$ \{ a_{n}\} $中的任意三项均不能构成等差数列.
答案：
14.
(1)解：由$a_{n}a_{n + 1} = 9 × 2^{2n - 1}$，得$a_{n + 1}a_{n + 2} = 9 × 2^{2n + 1}$，以上两式相比，得$\frac{a_{n + 2}}{a_{n}} = 4$.由$a_{1}a_{2} = 9 × 2^{1}$，$a_{1} = 3$，得$a_{2} = 6$，所以数列$\{ a_{2n - 1}\}$是首项为3，公比为4的等比数列，则$a_{2n - 1} = 3 × 2^{2n - 2}$，数列$\{ a_{2n}\}$是首项为6，公比为4的等比数列，则$a_{2n} = 6 × 4^{n - 1} = 3 × 2^{2n - 1}$.综上，数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = 3 × 2^{n - 1}$.
(2)证明：假设数列$\{ a_{n}\}$中存在三项$a_{m}$，$a_{k}$，$a_{p}$（其中$m ＜ k ＜ p$）成等差数列，则$2a_{k} = a_{m} + a_{p}$，所以$2 × 3 × 2^{k - 1} = 3 × 2^{m - 1} + 3 × 2^{p - 1}$，即$2^{k} = 2^{m - 1} + 2^{p - 1}$，两边同时除以$2^{m - 1}$，得$2^{k - m + 1} = 1 + 2^{p - m}$（*）.因为（*）式右边为奇数，左边为偶数，所以（*）式不成立，假设不成立.所以数列$\{ a_{n}\}$中的任意三项均不能构成等差数列.
核心笔记
1.一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成，可用分组转化法求和.
2.解应用题时，在认真阅读题目并理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题.在建立模型的过程中，要把制约因素抽象为符号表示，并通过前若干项探索规律，抓住这些量之间的关系建立关系式.(练习运用：第5,6,12题)
3.由$a_{n}$与$S_{n}$的关系式求通项公式$a_{n}$的步骤：
(1)先利用$a_{1} = S_{1}$，求得数列的首项$a_{1}$；
(2)用$n - 1$替换$S_{n}$中的$n$得到一个新的关系式，利用$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}(n \geqslant 2)$，即可求得$n \geqslant 2$时$a_{n}$的表达式；
(3)对$n = 1$时的结果进行检验，若符合，则该数列的通项公式可合并；若不符合，则需分$n = 1$和$n \geqslant 2$两段来写.
(1)解：由$a_{n}a_{n + 1} = 9 × 2^{2n - 1}$，得$a_{n + 1}a_{n + 2} = 9 × 2^{2n + 1}$，以上两式相比，得$\frac{a_{n + 2}}{a_{n}} = 4$.由$a_{1}a_{2} = 9 × 2^{1}$，$a_{1} = 3$，得$a_{2} = 6$，所以数列$\{ a_{2n - 1}\}$是首项为3，公比为4的等比数列，则$a_{2n - 1} = 3 × 2^{2n - 2}$，数列$\{ a_{2n}\}$是首项为6，公比为4的等比数列，则$a_{2n} = 6 × 4^{n - 1} = 3 × 2^{2n - 1}$.综上，数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = 3 × 2^{n - 1}$.
(2)证明：假设数列$\{ a_{n}\}$中存在三项$a_{m}$，$a_{k}$，$a_{p}$（其中$m ＜ k ＜ p$）成等差数列，则$2a_{k} = a_{m} + a_{p}$，所以$2 × 3 × 2^{k - 1} = 3 × 2^{m - 1} + 3 × 2^{p - 1}$，即$2^{k} = 2^{m - 1} + 2^{p - 1}$，两边同时除以$2^{m - 1}$，得$2^{k - m + 1} = 1 + 2^{p - m}$（*）.因为（*）式右边为奇数，左边为偶数，所以（*）式不成立，假设不成立.所以数列$\{ a_{n}\}$中的任意三项均不能构成等差数列.
核心笔记
1.一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成，可用分组转化法求和.
2.解应用题时，在认真阅读题目并理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题.在建立模型的过程中，要把制约因素抽象为符号表示，并通过前若干项探索规律，抓住这些量之间的关系建立关系式.(练习运用：第5,6,12题)
3.由$a_{n}$与$S_{n}$的关系式求通项公式$a_{n}$的步骤：
(1)先利用$a_{1} = S_{1}$，求得数列的首项$a_{1}$；
(2)用$n - 1$替换$S_{n}$中的$n$得到一个新的关系式，利用$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}(n \geqslant 2)$，即可求得$n \geqslant 2$时$a_{n}$的表达式；
(3)对$n = 1$时的结果进行检验，若符合，则该数列的通项公式可合并；若不符合，则需分$n = 1$和$n \geqslant 2$两段来写.
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