《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{3}+a_{9}=10,a_{4}=3$,则数列$\{ a_{n}\}$的公差$d=$ ( )

A.1
B.$-1$
C.$-2$
D.2

答案： 1. A 由已知,得$\begin{cases}2a_1 + 10d = 10,\\a_1 + 3d = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1 = 0,\\d = 1.\end{cases}$

2. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1,a_{n+1}=a_{n}+6$,则$a_{5}=$ ( )

A.25
B.30
C.32
D.64

答案： 2. A 由$a_{n + 1} = a_n + 6$得$a_{n + 1} - a_n = 6$,所以数列$\{ a_n \}$是以$6$为公差的等差数列.又$a_1 = 1$,所以$a_5 = a_1 + 4 × 6 = 25$.

3. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中,已知$a_{4}=2,a_{8}=14$,则$a_{15}=$ ( )

A.32
B.$-32$
C.35
D.$-35$

答案： 3. C 设等差数列$\{ a_n \}$的公差为$d$,则由题意得$\begin{cases}a_1 + 3d = 2,\\a_1 + 7d = 14,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1 = -7,\\d = 3,\end{cases}$所以$a_{15} = a_1 + 14d = -7 + 14 × 3 = 35$.

4. 已知$a,2a - 1,6 - a$这三个数成等差数列,则$a$的值为 ( )

A.$-1$
B.1
C.2
D.$\frac{7}{2}$

答案： 4. C 由题得$2(2a - 1) = a + (6 - a)$,解得$a = 2$.
解题突破 等差中项定义的应用
在等差数列$\{ a_n \}$中,由定义有$a_{n + 1} - a_n = a_n - a_{n - 1}(n \geq 2,n \in N^*)$,即$a_n = \frac{a_{n + 1} + a_{n - 1}}{2}$,从而由等差中项的定义知,等差数列从第$2$项起,每一项都是它前一项与后一项的等差中项.

5. 已知$m$和$2n$的等差中项是4,$2m$和$n$的等差中项是5,则$m$和$n$的等差中项是 ( )

A.2
B.3
C.6
D.9

答案： 5. B $m + 2n = 8$,$2m + n = 10$,相加得$3m + 3n = 18$,所以$m + n = 6$,则$m$和$n$的等差中项是$3$.

6. (教材变式)在2与18中间插入7个数,使这9个数成等差数列,则该数列的第5项是 ( )

A.6
B.8
C.10
D.12

答案： 6. C 设此等差数列为$\{ a_n \}$,公差为$d$,则$a_1 = 2$,$a_9 = 18$,故$d = \frac{a_9 - a_1}{9 - 1} = \frac{18 - 2}{8} = 2$,所以$a_5 = a_1 + 4d = 2 + 8 = 10$.
教材链接 人教A版选择性必修二4.2.1练习1第5题

7. 下列数列中,成等差数列的是 ( )

A.1,4,7,10
B.$\lg 2,\lg 4,\lg 8,\lg 16$
C.$2^{5},2^{4},2^{3},2^{2}$
D.10,8,5,1,$-4$

答案： 7. AB 根据等差数列的定义,对于A,满足$4 - 1 = 7 - 4 = 10 - 7 = 3$(常数),所以是等差数列,故A正确;对于B,满足$\lg 4 - \lg 2 = \lg 8 - \lg 4 = \lg 16 - \lg 8 = \lg 2$(常数),所以是等差数列,故B正确;对于C,因为$2^4 - 2^3 \neq 2^3 - 2^4$,所以不是等差数列,故C错误;对于D,因为$8 - 10 \neq 5 - 8$,所以不是等差数列,故D错误.

8. (高频导向)已知$\{ a_{n}\}$是公差为$d$的等差数列,$a_{2}+a_{3}=7,a_{4}+a_{6}=22$,则 ( )

A.$d = 2$
B.$a_{8}=20$
C.数列$\{ a_{n}+a_{n+1}\}$是等差数列
D.数列$\{ a_{n}+n\}$是等差数列

答案： 8. BCD 因为$a_2 + a_3 = 7$,$a_4 + a_6 = 22$,所以$\begin{cases}a_1 + d + a_1 + 2d = 7,\\a_1 + 3d + a_1 + 5d = 22,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1 = -1,\\d = 3,\end{cases}$所以$a_n = 3n - 4$,则$a_8 = a_1 + 7d = -1 + 7 × 3 = 20$,故A错误,B正确;由$a_n + a_{n + 1} = 3n - 4 + 3(n + 1) - 4 = 6n - 5$知数列$\{ a_n + a_{n + 1} \}$是等差数列,故C正确;由$a_n + n = 3n - 4 + n = 4n - 4$知数列$\{ a_n + n \}$是等差数列,故D正确.

9. 下列关于等差数列的命题,其中是真命题的有 ( )

A.若$a,b,c$成等差数列,则$a^{2},b^{2},c^{2}$一定成等差数列
B.若$a,b,c$成等差数列,则$2^{a},2^{b},2^{c}$可能成等差数列
C.若$a,b,c$成等差数列,则$ka + 2,kb + 2,kc + 2$一定成等差数列
D.若$a,b,c$成等差数列,则$\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$可能成等差数列

答案： 9. BCD 对于A,取$a = 1$,$b = 2$,$c = 3$,可得$a^2 = 1$,$b^2 = 4$,$c^2 = 9$,显然,$a^2$,$b^2$,$c^2$不成等差数列,故A错误.对于B,取$a = b = c$,可得$2^a = 2^b = 2^c$,故B正确.对于C,因为$a$,$b$,$c$成等差数列,所以$a + c = 2b$,则$(ka + 2) + (kc + 2) = k(a + c) + 4 = 2(kb + 2)$,即$ka + 2$,$kb + 2$,$kc + 2$成等差数列,故C正确.对于D,取$a = b = c \neq 0$,可得$\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$,故D正确.

10. (教材变式)在等差数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{3}=3$,公差$d = - 2$,则$-3$是该数列的第____项.

答案： 10. $6$ 由$a_3 = 3$,$d = -2$得$a_1 = 7$,所以$a_n = -2n + 9$.由$-2n + 9 = -3$,解得$n = 6$.
教材链接 人教A版选择性必修二4.2.1例2