《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知函数 $ f(x)=(1 - x)e^{x} $，$ f'(x) $为 $ f(x) $的导函数，则 $ f'(0)= $（ ）

A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： 1. B 因为$f^{\prime}(x)=-e^{x}+(1-x)e^{x}=-xe^{x}$，所以$f^{\prime}(0)=0$。

2. 已知函数 $ f(x)=\sin x + 4x $，则 $ \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(\pi + \Delta x) - f(\pi)}{2\Delta x}= $（ ）

A.$ 12 $
B.$ \frac{3}{2} $
C.$ 3 $
D.$ 6 $

答案： 2. B 因为$f^{\prime}(x)=\cos x + 4$，所以$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(\pi+\Delta x)-f(\pi)}{2\Delta x}=\frac{1}{2}f^{\prime}(\pi)=\frac{1}{2}\cos\pi + 2=-\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}$。

3. 若函数 $ f(x) $的导函数 $ f'(x) $的图象关于 $ y $轴对称，则 $ f(x) $的解析式不可能为（ ）

A.$ f(x)=x^{2}\cos x $
B.$ f(x)=x + \sin x $
C.$ f(x)=x + \frac{1}{x} $
D.$ f(x)=x^{3} + 3 $

答案： 3. A 由题意可知，$f^{\prime}(x)$必为偶函数。对于选项A，$f^{\prime}(x)=2x\cos x - x^{2}\sin x$为奇函数，故A不可能；对于选项B，$f^{\prime}(x)=1+\cos x$为偶函数，故B可能；对于选项C，$f^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x^{2}}$为偶函数，故C可能；对于选项D，$f^{\prime}(x)=3x^{2}$为偶函数，故D可能。
方法总结　奇、偶函数导数的性质
偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数。

4. 在经济学中，通常把生产成本关于产量的导函数称为边际成本。设生产 $ x $个单位产品的总成本函数是 $ C(x)=8 + \frac{x^{2}}{8} $，则当生产 8 个单位产品时，边际成本是（ ）

A.$ 2 $
B.$ 8 $
C.$ 10 $
D.$ 16 $

答案： 4. A 因为$C^{\prime}(x)=\frac{x}{4}$，所以$C^{\prime}(8)=\frac{8}{4}=2$。

5. 已知曲线 $ f(x)=\ln x + \frac{a}{x} $在点 $ (1,f(1)) $处的切线与直线 $ y = x + 1 $垂直，则 $ a $的值为（ ）

A.$ -2 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： 5. D 由$f(x)=\ln x+\frac{a}{x}$，得$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^{2}}$，所以$f^{\prime}(1)=1-a$，则$(1 - a)×1=-1$，解得$a = 2$。

6. 曲线 $ y = x(x - 1)(x - 2)······(x - 5) $在 $ x = 0 $处的导数为（ ）

A.$ 120 $
B.$ -120 $
C.$ 60 $
D.$ -60 $

答案： 6. B 设$g(x)=(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)$，则$y^{\prime}=[xg(x)]^{\prime}=g(x)+xg^{\prime}(x)$，所以$y^{\prime}\big|_{x = 0}=g(0)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120$。

7. （教材变式）下列说法正确的是（ ）

A.若 $ f(x)=\sin x + \ln 7 $，则 $ f'(x)=\cos x + \frac{1}{7} $
B.设函数 $ f(x)=x\ln x $，且 $ f'(x_{0})=2 $，则 $ x_{0}=e $
C.已知函数 $ f(x)=3x^{2}e^{x} $，则 $ f'(1)=12e $
D.若 $ f(x)=\frac{x}{x + 1} - 2^{x} $，则 $ f'(x)=\frac{1}{(x + 1)^{2}} - 2^{x}\ln 2 $

答案： 7. BD $f^{\prime}(x)=\cos x$，故A错误；$f^{\prime}(x)=\ln x + 1$，令$f^{\prime}(x_{0})=2$，得$\ln x_{0}+1=2$，解得$x_{0}=e$，故B正确；因为$f^{\prime}(x)=3×(2xe^{x}+x^{2}e^{x})$，所以$f^{\prime}(1)=3×(2×1× e+e)=9e$，故C错误；$f^{\prime}(x)=\frac{x + 1 - x}{(x + 1)^{2}}-2^{x}\ln2=\frac{1}{(x + 1)^{2}}-2^{x}\ln2$，故D正确。
教材链接 人教A版选择性必修二5.2.2练习第2题

8. 给出定义：若函数 $ f(x) $在 $ D $上可导，即 $ f'(x) $存在，且导函数 $ f'(x) $在 $ D $上也可导，则称 $ f(x) $在 $ D $上存在二阶导函数，记 $ f''(x)=[f'(x)]' $。若 $ f''(x)＜0 $在 $ D $上恒成立，则称 $ f(x) $在 $ D $上为凸函数。以下四个函数在 $ (0,\frac{\pi}{2}) $上为凸函数的是（ ）

A.$ f(x)=\sin x + \cos x $
B.$ f(x)=\ln x - 2x $
C.$ f(x)=-x^{3} + 2x - 1 $
D.$ f(x)=xe^{x} $

答案： 8. ABC 对于A，$f(x)=\sin x+\cos x$，$f^{\prime}(x)=\cos x-\sin x$，$f^{\prime\prime}(x)=-\sin x-\cos x$，当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，恒有$f^{\prime\prime}(x)\lt0$，是凸函数，故A正确。对于B，$f(x)=\ln x - 2x$，$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-2$，$f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}$，当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，恒有$f^{\prime\prime}(x)\lt0$，是凸函数，故B正确。对于C，$f(x)=-x^{3}+2x - 1$，$f^{\prime}(x)=-3x^{2}+2$，$f^{\prime\prime}(x)=-6x$，当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，恒有$f^{\prime\prime}(x)\lt0$，是凸函数，故C正确。对于D，$f(x)=xe^{x}$，$f^{\prime}(x)=(x + 1)e^{x}$，$f^{\prime\prime}(x)=(x + 2)e^{x}$，则$f^{\prime\prime}(x)\gt0$在$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时恒成立，不是凸函数，故D错误。