《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知函数 $ f(x)=x^{3}+\sin 3x $，则其导函数 $ f^{\prime}(x)= $（ ）

A.$ 3x^{2}+3\cos x $
B.$ x^{3}+3\cos x $
C.$ x^{3}+3\cos 3x $
D.$ 3x^{2}+3\cos 3x $

答案： 1. D $f^{\prime}(x)=3x^{2}+\cos 3x· (3x)^{\prime}=3x^{2}+3\cos 3x$.

2. 已知 $ f(x)=x^{2}\ln (2x) $，若 $ f^{\prime}(x_{0})=x_{0} $，则 $ x_{0}= $（ ）

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{1}{2}e $
C.$ \ln 2 $
D.1

答案： 2. A 因为$f(x)=2x\ln(2x)+x$，$f^{\prime}(x_{0})=x_{0}$，所以$2x_{0}\ln(2x_{0})=0$.又$x_{0}＞0$，所以$\ln(2x_{0})=0$，解得$x_{0}=\frac{1}{2}$.

3. （高频导向）已知函数 $ f(x)=(1+x)e^{ax} $，其中 $ e $ 为自然对数的底数，若曲线 $ y = f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的切线斜率为 $ -1 $，则实数 $ a $ 的值为（ ）

A.$ -2 $
B.$ -1 $
C.1
D.2

答案： 3. A 因为$f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{ax}+(1 + x)\mathrm{e}^{ax}· a=(ax + a + 1)· \mathrm{e}^{ax}$，所以$f^{\prime}(0)=a + 1=-1$，解得$a=-2$.

4. 若 $ y^{\prime}=\frac{2x}{2x + 1} $，则此函数可能是（ ）

A.$ y=\ln (x^{2}+x) $
B.$ y=x-\frac{1}{2}\ln (2x + 1) $
C.$ y=2(2x + 1)^{-2} $
D.$ y=-\frac{1}{4(2x + 1)^{2}} $

答案： 4. B 在A中，$y^{\prime}=\frac{2x + 1}{x^{2}+x}$，A错误；在B中，$y^{\prime}=1-\frac{1}{2}×\frac{2}{2x + 1}=\frac{2x}{2x + 1}$，B正确；在C中，$y^{\prime}=-8(2x + 1)^{-3}$，C错误；在D中，$y^{\prime}=(2x + 1)^{-3}$，D错误.

5. 已知函数 $ f(x) $ 的导函数是 $ f^{\prime}(x) $，且满足 $ f(x)=2xf^{\prime}(1)+\ln \frac{1}{x} $，则 $ f(1)= $（ ）

A.$ -e $
B.2
C.$ -2 $
D.$ e $

答案： 5. B 因为$f^{\prime}(x)=2f^{\prime}(1)+\frac{1}{1}· (-\frac{1}{x^{2}})=2f^{\prime}(1)+x· (-\frac{1}{x^{2}})=2f^{\prime}(1)-\frac{1}{x}$，所以$f^{\prime}(1)=2f^{\prime}(1)-1$，解得$f^{\prime}(1)=1$，所以$f(x)=2x+\ln\frac{1}{x}$，则$f(1)=2+\ln1 = 2$.

6. （易错易混）下列函数求导正确的是（ ）

A.$ [5\log_{2}(1 - x)]^{\prime}=\frac{5}{(1 - x)\ln 2} $
B.$ \left[\frac{1}{(1 - 3x)^{4}}\right]^{\prime}=\frac{-12}{(1 - 3x)^{5}} $
C.$ \left[\sin^{2}\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\right]^{\prime}=2\sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right) $
D.$ (\ln\sqrt{1+\sin x})^{\prime}=\frac{\cos x}{2(1+\sin x)} $

答案： 6. D 对于A，函数$y = 5\log_{2}(1 - x)$可看作函数$y = 5\log_{2}u$，$u = 1 - x$的复合函数.由复合函数求导法则可得$y_{x}^{\prime}=y_{u}^{\prime}· u_{x}^{\prime}=5(\log_{2}u)^{\prime}· (1 - x)^{\prime}=5× \frac{1}{u\ln 2}× (-1)=\frac{5}{(x - 1)\ln 2}$，故A错误.对于B，函数$y=\frac{1}{(1 - 3x)^{4}}$可看作函数$y = u^{-4}$和$u = 1 - 3x$的复合函数.由复合函数求导法则可得$y_{x}^{\prime}=y_{u}^{\prime}· u_{x}^{\prime}=(u^{-4})^{\prime}· (1 - 3x)^{\prime}=(-4u^{-5})× (-3)=\frac{12}{(1 - 3x)^{5}}$，故B错误.对于C，$y=\sin^{2}(2x+\frac{\pi}{3})$可化为$y=\frac{1-\cos(4x+\frac{2\pi}{3})}{2}$，函数$y=\frac{1-\cos t}{2}$和$t = 4x+\frac{2\pi}{3}$的复合函数.由复合函数求导法则可得$y_{x}^{\prime}=y_{t}^{\prime}· t_{x}^{\prime}=(\frac{1-\cos t}{2})^{\prime}· (4x+\frac{2\pi}{3})^{\prime}=\frac{\sin t}{2}× 4 = 2\sin(4x+\frac{2\pi}{3})$，故C错误.对于D，函数$y=\ln\sqrt{1+\sin x}$可化为$y=\frac{1}{2}\ln(1+\sin x)$.函数$y=\frac{1}{2}\ln u$和$u = 1+\sin x$的复合函数，根据复合函数求导法则可得$y_{x}^{\prime}=y_{u}^{\prime}· u_{x}^{\prime}=(\frac{1}{2}\ln u)^{\prime}· (1+\sin x)^{\prime}=(\frac{1}{2u})· \cos x=\frac{\cos x}{2(1+\sin x)}$，故D正确.

7. 下列计算正确的有（ ）

A.若函数 $ f(x)=e^{2x} $，则 $ f^{\prime}(x)=2e^{2x} $
B.若函数 $ f(x)=\ln \frac{2}{x} $，则 $ f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x} $
C.若函数 $ f(x)=3^{3x + 1} $，则 $ f^{\prime}(x)=3^{3x + 1}\ln 3 $
D.若函数 $ f(x)=\cos (-x) $，则 $ f^{\prime}(x)=-\sin x $

答案： 7. ABD $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{2x}· 2 = 2\mathrm{e}^{2x}$，A正确；$f^{\prime}(x)=\frac{x}{2}· (-\frac{2}{x^{2}})=-\frac{1}{x}$，B正确；$f^{\prime}(x)=3^{3x + 1}\ln 3× 3=3^{3x + 2}\ln 3$，C错误；$f^{\prime}(x)=(\cos x)^{\prime}=-\sin x$，D正确.

8. （教材变式）某港口一天 $ 24\ h $ 内潮水的高度 $ S $（单位：$ m $）随时间 $ t $（单位：$ h $，$ 0\leq t\leq 24 $）的变化近似满足关系式 $ S(t)=3\sin \left(\frac{\pi}{12}t+\frac{5\pi}{6}\right) $，则下列说法正确的有（ ）

A.$ S(t) $ 在 $ [0,2] $ 上的平均变化率为 $ \frac{3}{4}\ m/h $
B.相邻两次潮水高度最高的时间间距为 $ 24\ h $
C.当 $ t = 6 $ 时，潮水的高度会达到一天中最低
D.18 时潮水起落的速度为 $ \frac{\pi}{8}\ m/h $

答案： 8. BD 对于A，$S(0)=3\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{3}{2}$，$S(2)=3\sin(\frac{\pi}{12}× 2+\frac{5\pi}{6})=0$，所以$S(t)$在$[0,2]$上的平均变化率为$\frac{S(2)-S(0)}{2 - 0}=\frac{0-\frac{3}{2}}{2}=-\frac{3}{4}m/h$，故A错误.对于B，相邻两次潮水高度最高的时间间距为一个周期，而$T=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{12}} = 24$，故B正确.对于C，当$t = 6$时，$S(6)=3\sin(\frac{\pi}{12}× 6+\frac{5\pi}{6})=\frac{3\sqrt{3}}{2}\neq - 3$，故C错误.对于D，$S^{\prime}(t)=3\cos(\frac{\pi}{12}t+\frac{5\pi}{6})·\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}\cos(\frac{\pi}{12}t+\frac{5\pi}{6})$，所以$S^{\prime}(18)=\frac{\pi}{4}\cos(\frac{\pi}{12}× 18+\frac{5\pi}{6})=\frac{\pi}{8}$，故D正确.
教材链接 人教A版选择性必修二5.2第13题