《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册人教版》

7. 下列说法不正确的是（ ）

A.数列 $ 1,3,5,7 $可表示为$\{ 1,3,5,7\}$
B.数列 $ 1,0,-1,-2 $与数列$-2,-1,0,1$是相同的数列
C.数列$\left\{\frac{n + 1}{n}\right\}$的第$k$项为 $ 1+\frac{1}{k} $
D.数列 $ 0,2,4,6,·s $可记为$\{ 2n\}$

答案： 7. ABD A错误，因为数列是有顺序的，而集合是没有顺序的；B错误，不同的顺序表示不同的数列；C正确，因为数列可以看成是关于$n$的函数，而大括号内的项即为通项；D错在忽略了$n\in N^{*}$。

8. 已知 $ a_{n}=\begin{cases}3, & n = 1,\\2kn - k + 1,n\geqslant 2,\end{cases} $若数列$\{ a_{n}\}$不是递增数列,则$k$的可能取值为（ ）

A.$1$
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
D.$ \frac{2}{3} $

答案： 8. BD 因为$\{a_{n}\}$不是递增数列，所以$k\leq0$或$\begin{cases}k＞0,\\3\geq2k·2 - k + 1,\end{cases}$解得$k\leq\frac{2}{3}$，故B,D正确.

9. 已知函数 $ f(x)=-x^{2}+2x + 1 $,设数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为 $ a_{n}=f(n)(n\in\mathbf{N}^{*}) $,则此数列（ ）

A.图象是二次函数 $ y=-x^{2}+2x + 1 $的图象
B.是递减数列
C.从第3项往后各项均为负数
D.有两项为1

答案： 9. BC 由题意得$a_{n}=-n^{2}+2n + 1$，由数列与函数的关系可知，数列$\{a_{n}\}$的图象是分布在二次函数$y=-x^{2}+2x + 1$图象上的离散的点，如图所示，故A错误；从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数，只有第$2$项为$1$，从第$3$项往后各项为负数，故B,C正确，D错误.

10. 若数列$\{ a_{n}\}$满足①是无穷数列,②是递减数列,③每一项都是正数,则$a_{n}=$______.

答案： 10. $\frac{1}{n}$（答案不唯一）

11. 对于函数 $ y = f(x) $,部分$x$与$y$的对应关系如下表所示:

数列$\{ x_{n}\}$满足 $ x_{1}=2 $,且对于任意的 $ x\in\mathbf{N}^{*} $,点$ (x_{n},x_{n + 1}) $都在函数 $ y = f(x) $图象上,则 $ x_{22}= $______.

答案： 11. 2 因为$x_{1}=2,x_{2}=f(x_{1})=f(2)=4,x_{3}=f(x_{2})=f(4)=6,x_{4}=f(x_{3})=f(6)=2$，所以$\{x_{n}\}$为周期数列，周期为$3$，因此$x_{22}=x_{1}=2$。

12. 除数函数(divisor function) $ y = d(n)(n\in\mathbf{N}^{*}) $的函数值等于$n$的正因数的个数,例如 $ d(1)=1,d(4)=3 $,则 $ d(16)= $______.

答案： 12. 5 因为$16 = 1×16 = 2×8 = 4×4$，所以$d(16)=5$。
教材链接 人教A版选择性必修二4.1练习1第3题

13. 根据所给数列的前几项写出数列的一个通项公式:
(1) $ \frac{2}{7},\frac{4}{11},\frac{1}{2},\frac{4}{5},·s $;
(2) $ -\frac{2}{3},\frac{4}{15},-\frac{6}{35},\frac{8}{63},·s $;
(3) $ 0,2,0,2,·s $;
(4) $ 6,66,666,6666,·s $.
试写出前4项为 $ 0.3,0.33,0.333,0.3333 $的数列的一个通项公式.

答案： 13. 解：
(1)因为$\frac{2}{7}=\frac{4}{14}=\frac{4}{17 - 3×1×11}=\frac{4}{17 - 3×2×\frac{1}{2}}=\frac{4}{17 - 3×3×\frac{4}{5}}=\frac{4}{17 - 3×4}$，所以数列的一个通项公式是$a_{n}=\frac{4}{17 - 3n}(n\in N^{*})$。
(2)因为$-\frac{2}{3}=(-1)^{1}·\frac{2×1}{(2×1)^{2}-1},\frac{4}{15}=(-1)^{2}·\frac{2×2}{(2×2)^{2}-1},\frac{-6}{35}=(-1)^{3}·\frac{2×3}{(2×3)^{2}-1},\frac{8}{63}=(-1)^{4}·\frac{2×4}{(2×4)^{2}-1}$，所以数列的一个通项公式是$a_{n}=(-1)^{n}·\frac{2n}{(2n)^{2}-1}(n\in N^{*})$。
(3)因为$a_{1}=(-1)^{1}+1 = 0,a_{2}=(-1)^{2}+1 = 2,a_{3}=(-1)^{3}+1 = 0,a_{4}=(-1)^{4}+1 = 2$，所以数列的一个通项公式是$a_{n}=(-1)^{n}+1(n\in N^{*})$。
(4)这个数列的前$4$项可写为$6=\frac{6}{9}(10 - 1),66=\frac{6}{9}(10^{2}-1),666=\frac{6}{9}(10^{3}-1),6666=\frac{6}{9}(10^{4}-1)$，所以数列的一个通项公式为$a_{n}=\frac{6}{9}(10^{n}-1)=\frac{2}{3}(10^{n}-1)(n\in N^{*})$。
教材链接 人教A版选择性必修二4.1例2
[变式探究]因为数列$0.9,0.99,0.999,0.9999,·s$的通项可表示为$1-\frac{1}{10^{n}}$，而数列$0.3,0.33,0.333,0.3333,·s$的每一项都是上面数列对应项的$\frac{1}{3}$，所以$0.3,0.33,0.333,0.3333,·s$的一个通项公式为$a_{n}=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{10^{n}}),n\in N^{*}$。
方法总结 根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应项序号间的函数关系.
(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用$(-1)^{n}$或$(-1)^{n + 1}$处理符号，有时也可用分段形式.
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.