《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。

答案： 对称轴

4. 轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形上对应线段相等,对应角相等。

答案： 垂直平分线 相等 相等

5. 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。反过来,与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

答案： 距离

6. 用坐标表示两个点关于坐标轴对称的规律
(1) 点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x,-y)$。
(2) 点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$。

答案：
(1)$(x,-y)$
(2)$(-x,y)$

8. 等腰三角形的性质
(1) 等腰三角形的两个底角相等,简写成“等边对等角”。
(2) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,简写成“三线合一”。

答案：
(1)相等
(2)平分线 中线

9. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,简写成“等角对等边”。

答案： 等角对等边

10. 等边三角形的性质和判定
(1) 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于$60^{\circ}$。
(2) 三个角都相等的三角形是等边三角形。
(3) 有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形。
(4) 在直角三角形中,如果一个锐角等于$30^{\circ}$,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

答案：
(3)等边
(4)一半

【例1】如图,在平面直角坐标系中,A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3)。
(1) 求$\triangle ABC$的面积；
(2) 在图中作出$\triangle ABC关于x轴的对称图形\triangle A_1B_1C_1$,并写出点$A_1$,$B_1$,$C_1$的坐标；
(3) 在图中作出$\triangle ABC关于y轴的对称图形\triangle A_2B_2C_2$,并写出点$A_2$,$B_2$,$C_2$的坐标。

答案： 【解析】：
(1) 由点 A(-1,5)，B(-1,0)可知，AB 垂直于 x 轴，AB 的长度为 5 - 0 = 5。点 C(-4,3)到 AB（即直线 x = -1）的水平距离为 |-1 - (-4)| = 3，此距离即为△ABC 中 AB 边上的高。根据三角形面积公式，面积 = $\frac{1}{2}×底×高$，所以$S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}×5×3 = 7.5$。
(2) 关于 x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。点 A(-1,5)关于 x 轴的对称点$A_1$为(-1,-5)；点 B(-1,0)在 x 轴上，其对称点$B_1$仍为(-1,0)；点 C(-4,3)关于 x 轴的对称点$C_1$为(-4,-3)。
(3) 关于 y 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。点 A(-1,5)关于 y 轴的对称点$A_2$为(1,5)；点 B(-1,0)关于 y 轴的对称点$B_2$为(1,0)；点 C(-4,3)关于 y 轴的对称点$C_2$为(4,3)。
【答案】：
(1)7.5；
(2)$A_1(-1,-5)$，$B_1(-1,0)$，$C_1(-4,-3)$；
(3)$A_2(1,5)$，$B_2(1,0)$，$C_2(4,3)$