《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

15. 如图,将长方形 $ O A B C $ 置于平面直角坐标系中,点 $ A $ 的坐标为 $ ( 0,4 ) $,点 $ C $ 的坐标为 $ ( m, 0 ) ( m ＞ 0 ) $,点 $ D ( m, 1 ) $ 在 $ B C $ 上,将长方形 $ O A B C $ 沿 $ A D $ 折叠压平,使点 $ B $ 落在坐标平面内,设点 $ B $ 的对应点为 $ E $.
(1) 当 $ m = 3 $ 时,点 $ B $ 的坐标为 ______(3,4),点 $ E $ 的坐标为 ______(0,1)；
(2) 随着 $ m $ 的变化,试探索：点 $ E $ 能否恰好落在 $ x $ 轴上？若能,求出 $ m $ 的值；若不能,请说明理由.

答案：
(1) $(3,4)$；$(0,1)$
(2) 解：点$E$能恰好落在$x$轴上。
$\because$ 四边形$OABC$为矩形，
$\therefore BC=OA=4$，$\angle AOC=90^{\circ}$。
由折叠性质得：$DE=BD=BC-CD=4-1=3$，$AE=AB=OC=m$。
在$Rt\triangle CDE$中，$CE=\sqrt{DE^{2}-CD^{2}}=\sqrt{3^{2}-1^{2}}=2\sqrt{2}$，
$\therefore OE=OC-CE=m-2\sqrt{2}$。
在$Rt\triangle AOE$中，$OA^{2}+OE^{2}=AE^{2}$，
即$4^{2}+(m-2\sqrt{2})^{2}=m^{2}$，
解得$m=3\sqrt{2}$。

16. 如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ \angle A C B = 90 ^ { \circ } $,$ A B = 10 $,$ B C = 8 $,若点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 $ A - B - C - A $ 运动,设运动时间为 $ t $ 秒.
(1) 当 $ t = 6 $ 时,$ A P = $$6\sqrt{2}$；
(2) 若点 $ P $ 恰好在 $ \angle A B C $ 的平分线上,求此时 $ t $ 的值；
(3) 在运动过程中,当 $ t $ 为何值时,$ \triangle A C P $ 为等腰三角形.

答案：
(1) $6\sqrt{2}$
(2) 解：在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AB=10$，$BC=8$，$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=6$。
当点$P$在$BC$上时，过点$P$作$PD\perp AB$于点$D$。
$\because BP$平分$\angle ABC$，$\angle C=90^{\circ}$，$\therefore PD=CP$，$BD=BC=8$，$\therefore AD=AB-BD=2$。
设$PD=CP=y$，则$AP=AC-CP=6-y$。
在$Rt\triangle ADP$中，$AD^{2}+PD^{2}=AP^{2}$，即$2^{2}+y^{2}=(6-y)^{2}$，解得$y=\frac{8}{3}$。
$\therefore CP=\frac{8}{3}$，此时点$P$运动路程为$AB+BC+CP=10+8+\frac{8}{3}=\frac{62}{3}$，$\therefore t=\frac{62}{3}÷2=\frac{31}{3}$。
当点$P$与点$B$重合时，点$P$在$\angle ABC$的平分线上，此时$AP=AB=10$，$t=10÷2=5$。
综上所述，$t$的值为$\frac{31}{3}$或$5$。
(3) 解：①当点$P$在$AB$上，$AP=CP$时，$\angle A=\angle ACP$。
$\because \angle A+\angle B=90^{\circ}$，$\angle ACP+\angle BCP=90^{\circ}$，$\therefore \angle B=\angle BCP$，$\therefore CP=BP$，$\therefore P$为$AB$中点，$AP=5$，$t=5÷2=\frac{5}{2}$。
②当点$P$在$AB$上，$AP=AC=6$时，$t=6÷2=3$。
③当点$P$在$AB$上，$AC=CP=6$时，过点$C$作$CD\perp AB$于点$D$，$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{24}{5}$。
在$Rt\triangle ACD$中，$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\frac{18}{5}$，$\therefore AP=2AD=\frac{36}{5}$，$t=\frac{36}{5}÷2=\frac{18}{5}$。
④当点$P$在$BC$上，$PC=AC=6$时，$BP=BC-PC=2$，点$P$运动路程为$AB+BP=10+2=12$，$t=12÷2=6$。
综上所述，$t$的值为$\frac{5}{2}$或$3$或$\frac{18}{5}$或$6$。