《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

15. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$AB = 8$,$BC = 6$,$D为边AC$上的动点,点$D以每秒1个单位长度的速度从点C$出发,沿边$CA向点A$运动,当运动到点$A$时停止,设点$D运动的时间为t$秒。
(1)当$t = 2$时,$CD = $2,$AD = $8；
(2)当$t$为何值时,$\triangle CBD$是直角三角形？请说明理由。

答案：
(1)2 8
(2)在$Rt\triangle ABC$中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，$CD=t$，$AD=10-t$。
①当$\angle CDB=90^\circ$时，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}AC\cdot BD$，即$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× BD$，解得$BD=4.8$。
在$Rt\triangle CBD$中，$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6$，$t=3.6$。
②当$\angle CBD=90^\circ$时，点$D$与点$A$重合，$CD=AC=10$，$t=10$。
综上，$t=3.6$或$10$。

16. 定义：如图,点$M$,$N把线段AB分割成AM$,$MN$,$BN$,若以$AM$,$MN$,$NB$为边的三角形是一个直角三角形,则称点$M$,$N是线段AB$的勾股分割点。
(1)已知$M$,$N把线段AB分割成AM$,$MN$,$BN$,若$AM = 2$,$MN = 4$,$BN = 2\sqrt{3}$,则点$M$,$N是线段AB$的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点$M$,$N是线段AB$的勾股分割点,且$AM$为直角边,若$AB = 12$,$AM = 5$,求$BN$的长。

答案： 16. 解：
(1) 是。理由如下：$ \because AM^{2} + BN^{2} = 2^{2} + (2\sqrt{3})^{2} = 16 $，$ MN^{2} = 4^{2} = 16 $，$ \therefore AM^{2} + BN^{2} = MN^{2} $，$ \therefore $ 以 $ AM $，$ MN $，$ BN $ 为边的三角形是一个直角三角形，$ \therefore $ 点 $ M $，$ N $ 是线段 $ AB $ 的勾股分割点。
(2) 设 $ BN = x $，则 $ MN = AB - AM - BN = 7 - x $。① 当 $ MN $ 为最长线段时，由题意，得 $ MN^{2} = AM^{2} + BN^{2} $，即 $ (7 - x)^{2} = 25 + x^{2} $，解得 $ x = \frac{12}{7} $。