《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

11. 如图,在平行四边形$ABCD$中,点$E是边AB$上一点,连接$DE$,$CE$。若$DE$,$CE分别是\angle ADC$,$\angle BCD$的平分线,且$AB= 4$,则平行四边形$ABCD$的周长为(D)

A.$10$
B.$8\sqrt{2}$
C.$5\sqrt{5}$
D.$12$

答案： D

12. 在面积为$12的平行四边形ABCD$中,过点$A作直线BC的垂线交直线BC于点E$,过点$A作直线CD的垂线交直线CD于点F$,若$AB= 4$,$BC= 6$,则$CE+CF$的值为(C)
A.$10+5\sqrt{3}$
B.$10-5\sqrt{3}$
C.$10+5\sqrt{3}或2+\sqrt{3}$
D.$10+5\sqrt{3}或10-5\sqrt{3}$

答案： C

13. 在$□ ABCD$中,$\angle A= 30^{\circ}$,$AD= 4\sqrt{3}$,连接$BD$,若$BD= 4$,则线段$CD$的长为4 或 8。

答案： 4 或 8

14. 如图,在四边形$ABCD$中,已知$AB= CD$,点$E$,$F分别为AD$,$BC$的中点,延长$BA$,$CD$,分别交射线$FE于P$,$Q$两点。求证：$\angle BPF= \angle CQF$。

答案： 证明：连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM。
∵E是AD的中点，M是BD的中点，
∴EM是△ABD的中位线，
∴EM//AB，EM = $\frac{1}{2}$AB，
∴∠MEF = ∠BPF。
∵F是BC的中点，M是BD的中点，
∴FM是△BCD的中位线，
∴FM//CD，FM = $\frac{1}{2}$CD，
∴∠MFE = ∠CQF。
∵AB = CD，
∴EM = FM，
∴∠MEF = ∠MFE，
∴∠BPF = ∠CQF。

15. 如图,在四边形$ABCD$中,$DE\perp AC$,$BF\perp AC$,垂足分别为$E$,$F$,延长$DE$,$BF$,分别交$AB于点H$,交$CD于点G$,若$AD// BC$,$AE= CF$。
(1) 求证：四边形$ABCD$为平行四边形；
(2) 若$\angle DAH= \angle GBA$,$GF= 2$,$CF= 4$,求$AD$的长。

答案：
(1)证明: $\because DE\perp AC,BF\perp AC,\therefore \angle AED=\angle CFB = 90^{\circ}.\because AD// BC,\therefore \angle DAE=\angle BCF$. 在$\triangle DAE$和$\triangle BCF$中, $\left\{\begin{array}{l} \angle DEA=\angle BFC = 90^{\circ},\\ AE = CF,\\ \angle DAE=\angle BCF,\end{array}\right.$ $\therefore \triangle DAE\cong \triangle BCF(ASA)$, $\therefore AD = BC.\because AD// BC,\therefore$四边形ABCD为平行四边形.
(2)解: $\because$四边形ABCD为平行四边形, $\therefore \angle DAH=\angle BCG,AB// CD,\therefore \angle CGB=\angle GBA.\because \angle DAH=\angle GBA,\therefore \angle CGB=\angle BCG,\therefore BG = BC$. 在$Rt\triangle CFB$中, $\because BF = BG - GF = BC - 2,CF = 4,BC^{2}=BF^{2}+CF^{2},\therefore BC^{2}=(BC - 2)^{2}+4^{2},\therefore BC = 5,\therefore AD = BC = 5$.

16. 如图,在平面直角坐标系中,四边形$ABCO$是平行四边形,其中$A(2,0)$,$B(3,1)$。将$□ ABCO在x$轴上顺时针翻滚,第一次翻滚得到$□ AB_{1}C_{1}O_{1}$,第二次翻滚得到$□ B_{1}A_{1}O_{2}C_{2}$,……,则第五次翻滚后,点$C$的对应点的坐标为______$(6 + 2\sqrt{2},\sqrt{2})$。

答案： $(6 + 2\sqrt{2},\sqrt{2})$