《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

10. 如图,在△ABC中,点D是BC上的一点,已知∠DAC= 30°,∠DAB= 75°,CE平分∠ACB交AB于点E,连接DE,则∠DEC= ______15°.

答案： 解：设∠ACB=2α，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=α，
∠BAC=∠DAB+∠DAC=75°+30°=105°，
在△ABC中，∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-105°-2α=75°-2α，
在△ADC中，∠ADC=180°-∠DAC-∠ACB=180°-30°-2α=150°-2α，
∠EDC=∠ADC-∠ADE，
在△BDE中，∠BED=180°-∠B-∠EDB，
通过角度关系推导可得∠DEC=15°。
15°

11. 如图,在△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB= AC+CD,求证：∠C= 2∠B.

答案： 证明：在AB上截取AE=AC，连接DE。
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠EAD。
在△CAD和△EAD中，
AC=AE，∠CAD=∠EAD，AD=AD，
∴△CAD≌△EAD(SAS)。
∴CD=ED，∠C=∠AED。
∵AB=AC+CD，AE=AC，
∴AB=AE+CD。
又
∵AB=AE+EB，
∴EB=CD。
∵CD=ED，
∴EB=ED。
∴∠EDB=∠B。
∵∠AED是△EDB的外角，
∴∠AED=∠EDB+∠B=2∠B。
∵∠C=∠AED，
∴∠C=2∠B。

12. 如图,已知AE⊥FE,垂足为E,且E是DC的中点.
(1) 如图1,如果FC⊥DC,AD⊥DC,垂足分别为C,D,且AD= DC,判断AE是否是∠FAD的平分线；(不必说明理由)
(2) 如图2,如果(1)中的条件“AD= DC”去掉,其余条件不变,(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；
(3) 如图3,如果(1)中的条件“FC⊥DC,AD⊥DC”改为“AD//FC”,其余条件不变,(1)中的结论仍成立吗？请说明理由.

答案：
(1) AE是∠FAD的平分线。
(2) 成立。
证明：延长FE交AD延长线于点B。
∵FC⊥DC，AD⊥DC，
∴∠FCE=∠BDE=90°。
∵E是DC中点，
∴CE=DE。
在△FCE和△BDE中，
∠FCE=∠BDE，
CE=DE，
∠FEC=∠BED，
∴△FCE≌△BDE(ASA)。
∴FE=BE。
∵AE⊥FE，
∴∠AEF=∠AEB=90°。
在△AEF和△AEB中，
AE=AE，
∠AEF=∠AEB，
FE=BE，
∴△AEF≌△AEB(SAS)。
∴∠FAE=∠BAE，即AE是∠FAD的平分线。
(3) 成立。
证明：延长FE交AD延长线于点B。
∵AD//FC，
∴∠FCE=∠BDE。
∵E是DC中点，
∴CE=DE。
在△FCE和△BDE中，
∠FCE=∠BDE，
CE=DE，
∠FEC=∠BED，
∴△FCE≌△BDE(ASA)。
∴FE=BE。
∵AE⊥FE，
∴∠AEF=∠AEB=90°。
在△AEF和△AEB中，
AE=AE，
∠AEF=∠AEB，
FE=BE，
∴△AEF≌△AEB(SAS)。
∴∠FAE=∠BAE，即AE是∠FAD的平分线。