《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

11. 如图,已知正比例函数 $ y _ { 1 } = a x $ 与一次函数 $ y _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } x + b $ 的图象交于点 $ P $. 下列有四个结论：① $ a ＜ 0 $；② $ b ＜ 0 $；③当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y _ { 1 } ＞ 0 $；④当 $ x ＜ - 2 $ 时,$ y _ { 1 } ＞ y _ { 2 } $. 其中正确的是 (D)

A.①②
B.②③
C.①③
D.①④

答案： D

12. 在平面直角坐标系中,点 $ A ( 0,4 ) $,$ B ( 3,0 ) $,且四边形 $ A B C D $ 为正方形,若直线 $ l $：$ y = k x + 4 $ 与线段 $ B C $ 有交点,则 $ k $ 的取值范围是 (B)

A.$ k \leqslant \frac { 4 } { 3 } $
B.$ - \frac { 4 } { 3 } \leqslant k \leqslant - \frac { 1 } { 7 } $
C.$ - \frac { 4 } { 3 } \leqslant k \leqslant - 1 $
D.$ - \frac { 4 } { 3 } \leqslant k \leqslant \frac { 4 } { 3 } $

答案： B

13. 若自变量为 $ x $ 的函数 $ y = m x + 2 - m $ 是正比例函数,则 $ m = $2,该函数的解析式为$y = 2x$.

答案： 2 $y = 2x$

14. 若一次函数 $ y = x + b $ 的图象经过点 $ A ( 1,3 ) $ 和 $ B ( - 1, - 1 ) $,则此函数的解析式为$y = 2x + 1$.

答案： $y = 2x + 1$

15. 已知一次函数 $ y = - x + a $ 与 $ y = x + b $ 的图象相交于点 $ ( m, 8 ) $,则 $ a + b = $ 16.

答案： 16

16. 已知直线 $ y = x - 3 $ 与直线 $ y = 2 x + 2 $ 的交点坐标为 $ ( - 5, - 8 ) $,则方程组 $ \left\{ \begin{array} { l } { x - y - 3 = 0, } \\ { 2 x - y + 2 = 0 } \end{array} \right. $ 的解是$\begin{cases}x = -5,\\y = -8\end{cases}$.

答案： $\begin{cases}x = -5,\\y = -8\end{cases}$

17. 已知一次函数 $ y = - 3 x + 1 $ 的图象经过点 $ ( a, 1 ) $ 和点 $ ( - 2, b ) $,则 $ a = $0, $ b = $7.

答案： 0 7

18. 如图,一次函数 $ y = k x + b $ 的图象经过 $ A $,$ B $ 两点,与 $ x $ 轴交于点 $ C $,则此一次函数的解析式为$y = x + 2$,$ \triangle A O C $ 的面积为4.

答案： $y = x + 2$ 4

19. 已知函数 $ y = ( 2 m + 1 ) x + m - 3 $.
(1)若函数图象经过原点,求 $ m $ 的值；
(2)若这个函数是一次函数,且 $ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小,求 $ m $ 的取值范围.

答案：
(1) 解：因为函数图象经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入函数$y=(2m + 1)x + m - 3$，得$0=(2m + 1)×0 + m - 3$，解得$m = 3$。
(2) 解：因为函数是一次函数，且$y$随着$x$的增大而减小，所以一次项系数$2m + 1＜0$，解得$m＜-\frac{1}{2}$。

20. 已知 $ y $ 是 $ x $ 的一次函数,且当 $ x = - 4 $ 时,$ y = 9 $；当 $ x = 6 $ 时,$ y = - 1 $.
(1)求这个一次函数的解析式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(2)当 $ x = - \frac { 1 } { 2 } $ 时,求函数 $ y $ 的值；
(3)当 $ y ＜ 1 $ 时,求自变量 $ x $ 取值范围.

答案：
(1)设这个一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
因为当$x = - 4$时，$y = 9$；当$x = 6$时，$y = - 1$，所以可得方程组：
$\begin{cases}-4k + b = 9 \\6k + b = - 1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$：
$(-4k + b)-(6k + b)=9 - (-1)$
$-4k + b - 6k - b=10$
$-10k=10$
解得$k=-1$
把$k = - 1$代入$-4k + b = 9$得：
$-4×(-1)+b=9$
$4 + b=9$
解得$b = 5$
所以这个一次函数的解析式为$y=-x + 5$，自变量$x$的取值范围是任意实数。
(2)当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=-\left(-\frac{1}{2}\right)+5=\frac{1}{2}+5=\frac{11}{2}$
(3)当$y＜1$时，即$-x + 5＜1$
$-x＜1 - 5$
$-x＜-4$
解得$x＞4$