《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

9. 在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中,$ a $,$ b $,$ c $ 分别是 $ \angle A $,$ \angle B $,$ \angle C $ 的对边,$ \angle C = 90 ^ { \circ } $.
(1) 已知 $ a = 40 $,$ b = 9 $,求 $ c $；
(2) 已知 $ 3 a = 4 b $,$ c = 2.5 $,求 $ a $,$ b $.

答案：
(1)解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，由勾股定理得$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$。
因为$a=40$，$b=9$，所以$c=\sqrt{40^{2}+9^{2}}=\sqrt{1600 + 81}=\sqrt{1681}=41$。
(2)解：因为$3a = 4b$，所以设$a = 4k$，$b = 3k$（$k＞0$）。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
已知$c = 2.5$，则$(4k)^{2}+(3k)^{2}=2.5^{2}$，即$16k^{2}+9k^{2}=6.25$，$25k^{2}=6.25$，$k^{2}=0.25$，解得$k = 0.5$（$k=-0.5$舍去）。
所以$a=4k=4×0.5 = 2$，$b=3k=3×0.5=1.5$。

10. 如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部 $ 8 \mathrm { m } $ 处,已知旗杆原长 $ 16 \mathrm { m } $,则旗杆在离底部多少米的位置断裂？

答案： 解：设旗杆在离底部 $ x $ 米的位置断裂，则断裂后顶部长度为 $ (16 - x) $ 米。
根据勾股定理，可得：
$x^2 + 8^2 = (16 - x)^2$
展开并化简方程：
$x^2 + 64 = 256 - 32x + x^2$
$64 = 256 - 32x$
$32x = 256 - 64$
$32x = 192$
$x = 6$
答：旗杆在离底部 6 米的位置断裂。

11. 如图,小正方形边长为 1,连接小正方形的三个顶点,得到 $ \triangle A B C $,则边 $ A C $ 上的高是 (C)

A.$ \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 } $
B.$ \frac { 5 \sqrt { 5 } } { 10 } $
C.$ \frac { 3 \sqrt { 5 } } { 5 } $
D.$ \frac { 4 \sqrt { 5 } } { 5 } $

答案： C

12. 如图,已知正方形 $ A B C D $ 的边长为 1,其面积记为 $ S _ { 1 } $,以 $ C D $ 为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积为 $ S _ { 2 } $,…$ $,按此规律继续下去,则 $ S _ { 5 } $ 的值为 (A)

A.$ \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 4 } $
B.$ \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 3 } $
C.$ \left( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \right) ^ { 4 } $
D.$ \left( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \right) ^ { 3 } $

答案： A

13. 如图,从点 $ A ( 0,2 ) $ 发出的一束光,经 $ x $ 轴反射,过点 $ B ( 4,3 ) $,则这束光从点 $ A $ 到点 $ B $ 所经过路径的长为 ______$\sqrt{41}$.

答案： $\sqrt{41}$

14. 一副直角三角板按如图所示方式放置,点 $ C $ 在 $ F D $ 的延长线上,$ A B // C F $,$ \angle F = \angle A C B = 90 ^ { \circ } $,$ \angle E = 45 ^ { \circ } $,$ \angle A = 60 ^ { \circ } $,$ A C = 10 $,求 $ C D $ 的长.

答案： 解：过点B作BM⊥FD于点M。
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∠ABC=30°，AB=2AC=20，
BC=$\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{20^2 - 10^2}=10\sqrt{3}$。
∵AB//CF，
∴∠BCM=∠ABC=30°。
在Rt△BMC中，BM=BC·sin30°=$10\sqrt{3}×\frac{1}{2}=5\sqrt{3}$，
CM=BC·cos30°=$10\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=15$。
在Rt△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∠EDF=45°，
∵BM⊥FD，
∴∠BMD=90°，∠MBD=∠EDF=45°，
MD=BM=5\sqrt{3}。
CD=CM - MD=15 - 5\sqrt{3}。
答：CD的长为$15 - 5\sqrt{3}$。