《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

【例3】计算：
(1)$\sqrt{3}×(\sqrt{5}-\sqrt{2})$；
(2)$(\sqrt{24}+\sqrt{18})÷\sqrt{2}$；
(3)$(\sqrt{2}+3)(\sqrt{2}+2)$。

答案： 【解析】：本题主要考查二次根式的混合运算，包括乘法分配律、除法分配律以及多项式乘法法则在二次根式运算中的应用。
(1) 对于 $\sqrt{3} × (\sqrt{5} - \sqrt{2})$，我们可以使用乘法分配律，即 $a(b - c) = ab - ac$，将 $\sqrt{3}$ 分别与 $\sqrt{5}$ 和 $-\sqrt{2}$ 相乘，得到 $\sqrt{15} - \sqrt{6}$。
(2) 对于 $(\sqrt{24} + \sqrt{18}) ÷ \sqrt{2}$，我们可以使用除法分配律，即 $(a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c$，将 $\sqrt{24}$ 和 $\sqrt{18}$ 分别除以 $\sqrt{2}$，得到 $\sqrt{12} + \sqrt{9}$，再化简为 $2\sqrt{3} + 3$。
(3) 对于 $(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} + 2)$，我们可以使用多项式乘法法则，即 $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$，将 $\sqrt{2} + 3$ 和 $\sqrt{2} + 2$ 相乘，得到 $2 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 6$，再合并同类项为 $8 + 5\sqrt{2}$。
【答案】：
(1)$\sqrt{15}-\sqrt{6}$；
(2)$2\sqrt{3}+3$；
(3)$8+5\sqrt{2}$。

【变式训练3】计算：
(1)$(1-2\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)$；
(2)$(4\sqrt{6}-4\sqrt{\frac{1}{2}}+3\sqrt{8})÷2\sqrt{2}$。

答案：
(1)解：原式$=1×\sqrt{2}+1×1-2\sqrt{2}×\sqrt{2}-2\sqrt{2}×1$
$=\sqrt{2}+1-4-2\sqrt{2}$
$=-\sqrt{2}-3$
(2)解：原式$=4\sqrt{6}÷2\sqrt{2}-4\sqrt{\frac{1}{2}}÷2\sqrt{2}+3\sqrt{8}÷2\sqrt{2}$
$=2\sqrt{3}-4×\frac{\sqrt{2}}{2}÷2\sqrt{2}+3×2\sqrt{2}÷2\sqrt{2}$
$=2\sqrt{3}-(2\sqrt{2}÷2\sqrt{2})+(6\sqrt{2}÷2\sqrt{2})$
$=2\sqrt{3}-1+3$
$=2\sqrt{3}+2$

【例4】计算：
(1)$(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})$；
(2)$(\sqrt{5}+3\sqrt{2})^{2}$。

答案： 【解析】：
(1)利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，将$\sqrt{2}$看作$a$，$\sqrt{3}$看作$b$，先分别计算$(\sqrt{2})^2 = 2$，$(\sqrt{3})^2 = 3$，再相减可得结果；
(2)利用完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，其中$a = \sqrt{5}$，$b = 3\sqrt{2}$，分别计算各项后相加得出结果。
【答案】：
(1)-1；
(2)23 + 6$\sqrt{10}$

【变式训练4】计算：
(1)$(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})+\sqrt{2}(2-\sqrt{2})$；
(2)$(\sqrt{18}+2\sqrt{3})(3\sqrt{2}-\sqrt{12})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$。

答案：
(1)解：原式$=3^2-(\sqrt{7})^2+2\sqrt{2}-\sqrt{2}×\sqrt{2}$
$=9 - 7 + 2\sqrt{2}-2$
$=(9 - 7 - 2)+2\sqrt{2}$
$=0 + 2\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}$
(2)解：原式$=(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})-[( \sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2]$
$=(3\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2-(3 - 2\sqrt{6}+2)$
$=18 - 12-(5 - 2\sqrt{6})$
$=6 - 5 + 2\sqrt{6}$
$=1 + 2\sqrt{6}$