《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

8. 多边形的内角和外角
(1)多边形内角和公式:$n$边形内角和等于$(n - 2)×180^{\circ}$.
(2)多边形的外角和:多边形的外角和等于$360^{\circ}$,与多边形的形状和边数无关.

答案：
(1)$(n - 2)×180^{\circ}$
(2)$360^{\circ}$

【例1】用一条长为$18\mathrm{cm}$的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的$2$倍,求三角形各边的长;
(2)能围成有一边的长是$4\mathrm{cm}$的等腰三角形吗?若能,求出其他两边的长;若不能,请说明理由.

答案： 【解析】：
(1) 根据题意，设底边长为 $ x $ cm，腰长为 $ 2x $ cm，细绳总长为 18 cm，因此有方程 $ 2x + 2x + x = 18 $，解得 $ x = \frac{18}{5} $，腰长 $ 2x = \frac{36}{5} $。
(2) 分类讨论：
① 若腰长为 4 cm，底边长为 $ 18 - 4 - 4 = 10 $ cm，但 $ 4 + 4 ＜ 10 $，不满足三角形三边关系，故不能围成。
② 若底边长为 4 cm，腰长为 $ \frac{18 - 4}{2} = 7 $ cm，此时三边长为 4 cm, 7 cm, 7 cm，满足三边关系，可以围成等腰三角形。
【答案】：
(1) $\frac{18}{5}\mathrm{cm},\frac{36}{5}\mathrm{cm},\frac{36}{5}\mathrm{cm}$
(2) 能围成，其他两边长为$7\mathrm{cm},7\mathrm{cm}$

【例2】如图,在$\triangle ABC$中,$AD$是高,$AE$是角平分线,$AF$是中线,则下列说法错误的是(C)

A.$BF = CF$
B.$\angle C + \angle CAD = 90^{\circ}$
C.$\angle BAF = \angle CAF$
D.$S_{\triangle ABC} = 2S_{\triangle ABF}$

答案： 【解析】：由三角形中线的定义知$BF=CF$，A正确。
因为$AD$是高，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle ADC$中，$\angle C+\angle CAD = 90^{\circ}$，B正确。
由角平分线的定义知，$AE$是角平分线时，$\angle BAE=\angle CAE$，而$\angle BAF$与$\angle CAF$不一定相等，C错误。
因为$AF$是中线，所以$BC = 2BF$，$\triangle ABF$与$\triangle ABC$高相同，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABF}$，D正确。
【答案】：C

【例3】如图1,在$\triangle ABC$中,$BD平分\angle ABC$,且与$\triangle ABC的外角\angle ACE的平分线交于点D$.
(1)若$\angle ABC = 70^{\circ},\angle ACB = 40^{\circ}$,求$\angle D$的度数;
(2)若把$\angle A$截去,得到四边形$MNCB$,如图2,猜想$\angle D,\angle M,\angle N$的关系,并说明理由.

答案： 【解析】：
(1)因为$\angle ACE$是$\triangle ABC$的外角，所以$\angle ACE = \angle A + \angle ABC$。由于$BD$平分$\angle ABC$，$CD$平分$\angle ACE$，可得$\angle ABD = \angle DBC$，$\angle ACD = \angle DCE$。进而推出$\angle A = 2(\angle DCE - \angle DBC)$，又因为$\angle DCE = \angle D + \angle DBC$，即$\angle D = \angle DCE - \angle DBC$，所以$\angle A = 2\angle D$。已知$\angle ABC = 70^{\circ}$，$\angle ACB = 40^{\circ}$，根据三角形内角和定理，$\angle A = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 40^{\circ} = 70^{\circ}$，因此$\angle D = 35^{\circ}$。
(2)延长$BM$，$CN$交于点$A$。在$\triangle AMN$中，$\angle A + \angle AMN + \angle ANM = 180^{\circ}$，又因为$\angle AMN + \angle BMN = 180^{\circ}$，$\angle ANM + \angle CNM = 180^{\circ}$，所以$\angle A = 180^{\circ} - (180^{\circ} - \angle BMN) - (180^{\circ} - \angle CNM) = \angle BMN + \angle CNM - 180^{\circ}$。由
(1)知$\angle D = \frac{1}{2}\angle A$，故$\angle D = \frac{1}{2}(\angle M + \angle N - 180^{\circ})$。
【答案】：
(1)$35^{\circ}$；
(2)$\angle D = \frac{1}{2}(\angle M + \angle N - 180^{\circ})$