《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

【变式训练3】某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地,每辆汽车能装8吨甲种苹果,或10吨乙种苹果,或11吨丙种苹果。公司规定每辆车只能装同一种苹果,而且必须满载。已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨,且每种苹果不少于一车。
(1)设用x辆汽车装甲种苹果,y辆汽车装乙种苹果,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
(2)若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示,设此次运输的利润为W(万元),问：如何安排车辆,才能使利润W最大？求出最大利润。

答案：
(1) $ y = -3x + 10 $，$ x = 1 $或2或3
(2) 用1辆汽车装甲种苹果，7辆汽车装乙种苹果，2辆汽车装丙种苹果，最大利润为20.86万元

【例4】如图,直线y= kx+b(k≠0)与两坐标轴分别交于点B(6,0),C(0,4),点A的坐标为(-2,0),点D的坐标为(1,0)。
(1)试确定直线BC的函数关系式；
(2)若P(x,y)是直线BC在第一象限内的一个动点,试写出△ADP的面积S与x的函数关系式；
(3)当点P运动到什么位置时,△ADP的面积为3？请写出此时点P的坐标,并说明理由。

答案： 【解析】：
(1) 直线 $y = kx + b$ 经过点 $B(6,0)$ 和 $C(0,4)$，代入这两个点的坐标可以得到两个方程：
$\begin{cases}6k + b = 0, \\b = 4.\end{cases}$
解这个方程组，得到 $k = -\frac{2}{3}$ 和 $b = 4$，因此直线的函数关系式为 $y = -\frac{2}{3}x + 4$。
(2) 点 $P(x, y)$ 在直线 $BC$ 上，且在第一象限内，因此 $x ＞ 0, y ＞ 0$，且 $y = -\frac{2}{3}x + 4$。
点 $A(-2,0)$ 和点 $D(1,0)$，所以 $AD = 3$。
三角形 $ADP$ 的面积 $S$ 可以表示为：
$S = \frac{1}{2} × AD × y = \frac{1}{2} × 3 × \left( -\frac{2}{3}x + 4 \right) = -x + 6$。
(3) 当 $S = 3$ 时，解方程 $-x + 6 = 3$，得到 $x = 3$。
将 $x = 3$ 代入 $y = -\frac{2}{3}x + 4$，得到 $y = 2$。
因此，点 $P$ 的坐标为 $(3, 2)$。
【答案】：
(1) $y = -\frac{2}{3}x + 4$；
(2) $S = -x + 6$；
(3) 点 $P$ 的坐标为 $(3, 2)$。