《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

【例2】如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AB的垂直平分线MN交AC于点D$,交$AB于点E$。
(1) 若$\angle A = 40^{\circ}$,求$\angle DBC$的度数；
(2) 若$AE = 6$,$\triangle CBD的周长为20$,求$BC$的长。

答案： 【解析】：
(1) 在$\triangle ABC$中，因为$AB = AC$，$\angle A = 40^{\circ}$，根据等腰三角形两底角相等，所以$\angle ABC=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。由于$MN$是$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得$AD = BD$，所以$\angle ABD=\angle A = 40^{\circ}$，那么$\angle DBC=\angle ABC-\angle ABD=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}$。
(2) 因为$AE = 6$，$E$是$AB$中点（垂直平分线性质），所以$AB = 2AE=12$，又因为$AB = AC$，故$AC = 12$。$\triangle CBD$的周长为$BC + CD + BD=20$，而$BD = AD$（垂直平分线性质），所以$CD + BD=CD + AD=AC = 12$，因此$BC=20-(CD + BD)=20 - 12=8$。
【答案】：
(1)$30^{\circ}$；
(2)$8$

【例3】如图,在等边$\triangle ABC$中,点$D在边BC$上,过点$D作DE // AB交AC于点E$,过点$E作EF \perp DE$,交$BC的延长线于点F$。
(1) 求$\angle F$的度数；
(2) 求证：$CD = CF$。

答案： 【解析】：
(1) 因为△ABC是等边三角形，所以∠B=60°。由于DE//AB，根据平行线的性质，可得∠EDF=∠B=60°。又因为EF⊥DE，所以∠DEF=90°，在直角三角形DEF中，∠F=90°-∠EDF=90°-60°=30°。
(2) 因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°。由DE//AB，可得∠EDC=∠B=60°，所以∠EDC=∠ECD=60°，则△DEC的三个角都是60°，即△DEC是等边三角形，因此CE=CD。因为∠ECD是△ECF的外角，所以∠ECD=∠F+∠CEF，已知∠F=30°，∠ECD=60°，所以∠CEF=60°-30°=30°，即∠CEF=∠F，根据等角对等边，可得EC=CF，从而CD=CF。
【答案】：
(1) 30°；
(2) 证明见解析