《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

9. 如图,正方形网格中的$\triangle ABC$,若小方格边长为$1$,请证明$\triangle ABC$为直角三角形,并求出其面积。

答案： 证明：由图可知，小方格边长为1。
根据勾股定理，计算各边长度的平方：
$AB^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$
$AC^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$
$BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
因为$AB^2 + AC^2 = 5 + 20 = 25 = BC^2$，所以$\triangle ABC$为直角三角形，$\angle BAC = 90^\circ$。
面积：$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × \sqrt{5} × \sqrt{20} = \frac{1}{2} × \sqrt{5} × 2\sqrt{5} = \frac{1}{2} × 10 = 5$
答：$\triangle ABC$为直角三角形，面积为5。

10. 如图,已知等腰$\triangle ABC的底边BC = 13$,$D是腰AB$上一点,且$CD = 12$,$BD = 5$。
(1)求证：$\triangle BDC$是直角三角形；
(2)求$AC$的长。

答案：
(1)证明：在△BDC中，BD=5，CD=12，BC=13。
因为$5^{2}+12^{2}=25 + 144=169$，$13^{2}=169$，
所以$BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$，
所以△BDC是直角三角形。
(2)解：设AC=AB=x，则AD=AB - BD=x - 5。
因为△BDC是直角三角形，∠BDC=90°，
所以∠ADC=180° - ∠BDC=90°，即△ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，AD=x - 5，CD=12，AC=x，
由勾股定理得$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，
即$(x - 5)^{2}+12^{2}=x^{2}$，
展开得$x^{2}-10x + 25+144=x^{2}$，
移项合并得$-10x + 169=0$，
解得$x = 16.9$，
所以AC的长为16.9。

11. 如图所示的网格是正方形网格,$A$,$B$,$C$,$D$是网格线交点,则$\angle BAC与\angle DAC$的大小关系为(A)

A.$\angle BAC= \angle DAC$
B.$\angle BAC\gt\angle DAC$
C.$\angle BAC\lt\angle DAC$
D.无法确定

答案： 11. A

12. 对于平面直角坐标系内的任意两点P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2}),定义它们之间的一种“距离”为$d_{PQ}= \vert x_{2}-x_{1}\vert+\vert y_{2}-y_{1}\vert。$已知不同三点A,B,C满足d_{AC}= d_{AB}-d_{BC},下列结论不正确的是(C)
A.$A$,$B$,$C$三点可能构成钝角三角形
B.$A$,$B$,$C$三点可能构成直角三角形
C.$A$,$B$,$C$三点可能构成锐角三角形
D.$A$,$B$,$C$三点可能共线

答案： 12. C

13. 如图,已知四边形$ABCD$中,$AB = 1$,$BC = 2$,$CD = 2$,$AD = 3$,且$AB\perp BC$,求四边形$ABCD$的面积。

答案： 解：连接AC。
在Rt△ABC中，AB=1，BC=2，∠B=90°，
∴AC²=AB²+BC²=1²+2²=5，
∴AC=√5，
S△ABC=1/2×AB×BC=1/2×1×2=1。
在△ACD中，AC=√5，CD=2，AD=3，
∵AC²+CD²=(√5)²+2²=5+4=9=3²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴S△ACD=1/2×AC×CD=1/2×√5×2=√5。
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=1+√5。
答案：1+√5

14. 如图,在正方形$ABCD$中,$E$,$F分别是边BC$,$CD$上的一点,且$BE = 2EC$,$FC= \frac{2}{9}DC$,连接$AE$,$AF$,$EF$,求证：$\triangle AEF$是直角三角形。

答案： 证明：设正方形$ABCD$的边长为$9a$（$a＞0$），则$AB=BC=CD=AD=9a$。
$\because BE = 2EC$，$BC=9a$，
$\therefore BE = 6a$，$EC = 3a$。
$\because FC=\frac{2}{9}DC$，$DC=9a$，
$\therefore FC = 2a$，$DF=CD-FC=9a - 2a=7a$。
在$Rt\triangle ABE$中，$AE^{2}=AB^{2}+BE^{2}=(9a)^{2}+(6a)^{2}=81a^{2}+36a^{2}=117a^{2}$。
在$Rt\triangle ADF$中，$AF^{2}=AD^{2}+DF^{2}=(9a)^{2}+(7a)^{2}=81a^{2}+49a^{2}=130a^{2}$。
在$Rt\triangle ECF$中，$EF^{2}=EC^{2}+FC^{2}=(3a)^{2}+(2a)^{2}=9a^{2}+4a^{2}=13a^{2}$。
$\because AE^{2}+EF^{2}=117a^{2}+13a^{2}=130a^{2}=AF^{2}$，
$\therefore \triangle AEF$是直角三角形。