《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

1. 二次根式的乘法法则：$\sqrt {a}\cdot \sqrt {b}=$$\sqrt {ab}$($a≥0,b≥0$).
(1)要注意$a≥0,b≥0$这个条件,只有$a,b$都是非负数时法则才成立.
(2)法则推广：$\sqrt {a}\cdot \sqrt {b}\cdot \sqrt {c}\cdot \sqrt {d}\cdot ... =$$\sqrt {abcd... }(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0,... ).$
(3)二次根式的乘法法则变形(积的算术平方根)：$\sqrt {ab}= \sqrt {a}\cdot \sqrt {b}(a≥0,b≥0).$

答案： 1. $\sqrt {ab}$

2. 二次根式的除法法则：$\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}=$$\sqrt {\frac {a}{b}}$($a≥$$0,b＞0$).
(1)要注意$a≥0,b＞0$这个条件,因为$b= 0$时,分母为0,没有意义,所以$b≠0.$
(2)二次根式的除法法则变形(商的算术平方根)：$\sqrt {\frac {a}{b}}= \frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}(a≥0,b＞0).$

答案： 2. $\sqrt {\frac {a}{b}}$

【例1】计算或化简：
(1)$\sqrt {8}×\sqrt {50}$； (2)$\sqrt {12ab}\cdot \sqrt {\frac {9a^{3}}{4}}.$

答案： 【解析】：
(1)根据二次根式的乘法法则，$\sqrt {a} × \sqrt {b} = \sqrt {a × b}$，所以 $\sqrt {8} × \sqrt {50} = \sqrt {8 × 50} = \sqrt {400} = 20$。
(2)同样使用二次根式的乘法法则，$\sqrt {12ab} × \sqrt {\frac {9a^{3}}{4}} = \sqrt {12ab × \frac {9a^{3}}{4}} = \sqrt {27a^{4}b} = 3a^{2}\sqrt {3b}$，这里我们先把系数和字母部分分开计算，然后化简得到结果。
【答案】：
(1) $20$，
(2) $3a^{2}\sqrt {3b}$。

【变式训练1】计算或化简：
(1)$\sqrt {\frac {1}{2}}×\sqrt {24}$； (2)$\sqrt {8ab}\cdot \sqrt {6ab^{3}}.$

答案： #### 变式训练1
(1)$2\sqrt {3}$
(2)$4\sqrt {3}|a|b^{2}$

【例2】计算或化简：
(1)$\frac {\sqrt {12}}{\sqrt {3}}$； (2)$\sqrt {9ab^{2}c^{3}}÷\sqrt {ab^{2}c}.$

答案： 【解析】：
(1) 对于 $\frac {\sqrt {12}}{\sqrt {3}}$，根据二次根式的除法法则，可以将其转化为 $\sqrt {\frac {12}{3}}$。然后计算得到 $\sqrt {4}$，最后得到结果为 2。
(2) 对于 $\sqrt {9ab^{2}c^{3}} ÷ \sqrt {ab^{2}c}$，首先可以将除法转化为根号内的除法，即 $ \sqrt {\frac {9ab^{2}c^{3}}{ab^{2}c}}$。化简得 $ \sqrt {9c^{2}}$。最后根据二次根式的性质，得到 $3|c|$。
【答案】：
(1) 2
(2) $3|c|$