《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

【变式训练1】函数y= $\sqrt{2x - 4}+(x - 3)^0$中,自变量x的取值范围是$x\geq 2$且$x\neq 3$。

答案： 要使函数$y = \sqrt{2x - 4} + (x - 3)^0$有意义，需满足：
1. 二次根式被开方数非负：$2x - 4 \geq 0$，解得$x \geq 2$；
2. 零次幂底数不为零：$x - 3 \neq 0$，解得$x \neq 3$。
综上，自变量$x$的取值范围是$x\geq 2$且$x\neq 3$。
$x\geq 2$且$x\neq 3$

【例2】一个水管以固定的速度向容积为$100m^3$的水池中注水,注水时间t(min)与水池的水量$Q(m^3)$的一些对应数据如下表所示。
|t/min|0|2|4|6|8|…|
|$Q/m^3$|20|24|28|32|36|…|
(1)请从表中找出t与Q之间的函数关系,写出函数关系式,并画出函数图象；
(2)求当t= 15时水池中的水量。

答案：
【解析】：
(1) 从表中数据可以看出，每过2分钟，水池的水量增加4立方米，即每分钟增加2立方米。因此，t与Q之间的函数关系可以表示为Q=2t+20，其中20是初始水量，2是每分钟增加的水量。由于水池的总容积为100立方米，因此当Q=100时，可以求出最大时间t=(100-20)/2=40分钟。所以函数关系式为Q=2t+20(0≤t≤40)。
函数图象：
(2) 当t=15时，将t代入函数关系式Q=2t+20中，得到Q=2×15+20=50。
【答案】：
(1)函数关系式为Q=2t+20(0≤t≤40)，图象是一条直线，起点为(0,20)，终点为(40,100)；
(2)当t=15时,水池中的水量为50$m^3$

【变式训练2】已知函数y= 2x - 1。
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出函数y= 2x - 1的图象；
(2)判断点A(-3,-5),B(2,-3),C(3,5)是否在函数y= 2x - 1的图象上；
(3)若点P(m,9)在函数y= 2x - 1的图象上,求出m的值。

答案：
(1) 当$x=0$时，$y=2×0 - 1=-1$，得到点$(0,-1)$；当$y=0$时，$0=2x - 1$，解得$x=0.5$，得到点$(0.5,0)$。在坐标系中描出这两点，过两点画直线即为函数$y=2x - 1$的图象。
(2) 对于点$A(-3,-5)$，当$x=-3$时，$y=2×(-3)-1=-7\neq -5$，所以点$A$不在图象上；对于点$B(2,-3)$，当$x=2$时，$y=2×2 - 1=3\neq -3$，所以点$B$不在图象上；对于点$C(3,5)$，当$x=3$时，$y=2×3 - 1=5$，所以点$C$在图象上。
(3) 因为点$P(m,9)$在函数图象上，所以$9=2m - 1$，解得$2m=10$，$m=5$。

【例3】已知等腰三角形的周长是20。
(1)求腰长y与底边长x之间的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)求当x= 8时的函数值。

答案： 【解析】：
(1) 根据等腰三角形的性质，其两腰的长度相等，设腰长为$y$，底边长为$x$，则三角形的周长为$2y + x$。由题意知周长为20，所以有等式$x + 2y = 20$。解这个等式，我们可以得到腰长$y$与底边长$x$之间的函数关系式：$y = 10 - \frac{1}{2}x$。
(2) 接下来，我们需要找出自变量$x$的取值范围。根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，所以有$2y ＞ x$，即$2(10 - \frac{1}{2}x) ＞ x$。解这个不等式，我们得到$x ＜ 10$。同时，由于边长不能为0，所以$x ＞ 0$。综合这两个条件，我们得到自变量$x$的取值范围为$0 ＜ x ＜ 10$。
(3) 最后，当$x = 8$时，我们将$x$的值代入之前求得的函数关系式$y = 10 - \frac{1}{2}x$，得到$y = 10 - \frac{1}{2} × 8 = 6$。
【答案】：
(1) 腰长$y$与底边长$x$之间的函数关系式为$y = 10 - \frac{1}{2}x$；
(2) 自变量$x$的取值范围为$0 ＜ x ＜ 10$；
(3) 当$x = 8$时，函数值为6。