《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

25. 给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.
(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称；
(2)如图,将$\triangle ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60^{\circ}得到\triangle DBE$,连接$AD$,$DC$,$CE$,已知$\angle DCB= 30^{\circ}$.
①求证：$\triangle BCE$是等边三角形；
②求证：$DC^{2}+BC^{2}= AC^{2}$,即四边形$ABCD$是勾股四边形.

答案：
(1) 矩形、直角梯形
(2) ①证明：由旋转性质得，$BC=BE$，$\angle CBE=60^{\circ}$，$\therefore \triangle BCE$是等边三角形。
②证明：由旋转性质得，$\triangle ABC \cong \triangle DBE$，$\therefore AC=DE$。
$\because \triangle BCE$是等边三角形，$\therefore BC=CE$，$\angle BCE=60^{\circ}$。
$\because \angle DCB=30^{\circ}$，$\therefore \angle DCE=\angle DCB+\angle BCE=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$。
在$\text{Rt}\triangle DCE$中，$DC^{2}+CE^{2}=DE^{2}$。
$\because BC=CE$，$AC=DE$，$\therefore DC^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，即四边形$ABCD$是勾股四边形。

26. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 8$,$BC= 16$,$D是AC$上的一点,$CD= 3$,点$P从点B出发沿射线BC$方向以每秒 2 个单位的速度向右运动. 设点$P的运动时间为t$秒. 连接$AP$.
(1)当$t= 3$时,求$AP$的长度；(结果保留根号)
(2)当$\triangle ABP$为等腰三角形时,求$t$的值；
(3)过点$D作DE\perp AP于点E$,在点$P$的运动过程中,当$t$为何值时,能使$DE= CD$？

答案：
(1)当$t=3$时，$BP=2t=6$，$PC=BC-BP=16-6=10$。在$Rt\triangle APC$中，$AC=8$，$PC=10$，由勾股定理得$AP=\sqrt{AC^2+PC^2}=\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$。
(2)在$Rt\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+16^2}=8\sqrt{5}$。
- 若$AB=BP$，则$2t=8\sqrt{5}$，解得$t=4\sqrt{5}$；
- 若$AB=AP$，则$BP=2BC=32$，即$2t=32$，解得$t=16$；
- 若$AP=BP$，则$(2t)^2=(16-2t)^2+8^2$，解得$t=5$。
综上，$t$的值为$4\sqrt{5}$或$16$或$5$。
(3)①当点$P$在线段$BC$上时，$AD=AC-CD=5$，$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，$AP=AE+PE=4+(16-2t)=20-2t$。在$Rt\triangle APC$中，$8^2+(16-2t)^2=(20-2t)^2$，解得$t=5$。
②当点$P$在$BC$延长线上时，$AP=PE-AE=(2t-16)-4=2t-20$。在$Rt\triangle APC$中，$8^2+(2t-16)^2=(2t-20)^2$，解得$t=11$。
综上，$t$的值为$5$或$11$。