《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a$,$b$,$c$满足$a^{2}+b^{2}= c^{2}$,那么这个三角形是直角三角形.

答案： 1. 直角三角形

4. 逆命题与逆定理
(1)命题：判断一件事的语句。
(2)定理：经过一定推理,得到的真命题。
(3)互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反,若将其中一个叫做原命题,则另一个就是它的逆命题。
(4)逆定理：若一个定理的逆命题成立,则称这两个定理互为逆定理。

答案： 4.
(3)题设

【例1】写出下列命题的逆命题,并判断这些逆命题的真假。
(1)两条直线平行,同位角相等；
(2)如果两个实数都是正数,那么它们的积是正数；
(3)等边三角形是锐角三角形；
(4)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

答案： 【解析】：
本题主要考查了命题与逆命题的关系及真假判断。对于每个给出的命题，我们首先需要找到其题设和结论，然后交换它们的位置得到逆命题。接着，我们需要根据数学知识判断逆命题的真假。
(1) 对于命题“两条直线平行，同位角相等”，其题设是“两条直线平行”，结论是“同位角相等”。交换题设和结论，我们得到逆命题“同位角相等，两直线平行”。根据平行线的性质，这个逆命题是真命题。
(2) 对于命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”，其题设是“两个实数都是正数”，结论是“它们的积是正数”。交换题设和结论，我们得到逆命题“如果两个实数的积是正数，那么两个实数都是正数”。这个逆命题是假的，因为两个负数相乘也会得到正数。
(3) 对于命题“等边三角形是锐角三角形”，其题设是“一个三角形是等边三角形”，结论是“这个三角形是锐角三角形”。交换题设和结论，我们得到逆命题“锐角三角形是等边三角形”。这个逆命题是假的，因为并非所有锐角三角形都是等边的。
(4) 对于命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”，其题设是“一个点在线段的垂直平分线上”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”。交换题设和结论，我们得到逆命题“到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”。根据线段垂直平分线的性质，这个逆命题是真命题。
【答案】：
(1) 逆命题为“同位角相等,两直线平行”，此逆命题为真命题。
(2) 逆命题为“如果两个实数的积是正数,那么两个实数都是正数”，此逆命题为假命题。
(3) 逆命题为“锐角三角形是等边三角形”，此逆命题为假命题。
(4) 逆命题为“到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，此逆命题为真命题。

【变式训练1】写出下列命题的逆命题,并判断这些逆命题的真假。
(1)在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上；
(2)如果实数$a = b$,那么$\vert a\vert=\vert b\vert$。

答案： #### 变式训练1
(1) 逆命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等，是真命题。
(2) 逆命题：如果实数 $ |a| = |b| $，那么 $ a = b $，是假命题。