《2025年快乐之星暑假篇八年级数学》

【例2】如图,在$\triangle ABC$中,$D为边BC$的中点,$AB = 5$,$AD = 6$,$AC = 13$,求证：$AB\perp AD$。

答案： 【解析】：
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理。
首先，通过延长$AD$至点$E$，使$DE = AD$，并连接$BE$，构建了全等三角形$\triangle ADC$和$\triangle EDB$。
由于$D$是$BC$的中点，且$AD = DE$，$\angle ADC = \angle BDE$，
根据$SAS$（两边及夹角）全等条件，可以得出$\triangle ADC \cong \triangle EDB$。
由于全等三角形的对应边相等，所以$BE = AC = 13$。
接下来，在$\triangle ABE$中，已知$AE = 2AD = 12$，$AB = 5$，
可以计算得出$AE^{2} + AB^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 169$。
又因为$BE^{2} = 13^{2} = 169$，
所以$AE^{2} + AB^{2} = BE^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，如果在三角形中，最长的边的平方等于其他两边的平方和，则这个三角形是直角三角形。
因此，$\triangle ABE$是直角三角形，且$\angle BAE = 90^{\circ}$，即$AB \perp AD$。
【答案】：
证明：如答图,延长$AD$至点$E$,使$DE = AD$,连接$BE$。
$\because D$为$BC$的中点,
$\therefore CD = BD$。
又$\because AD = DE,\angle ADC= \angle BDE$，
$\therefore\triangle ADC\cong\triangle EDB(SAS)$，
$\therefore BE = AC = 13$。
在$\triangle ABE$中,$AE = 2AD = 12$，
$\therefore AE^{2}+AB^{2}= 12^{2}+5^{2}= 169$。
又$\because BE^{2}= 13^{2}= 169$，
$\therefore AE^{2}+AB^{2}= BE^{2}$,
$\therefore\triangle ABE$是直角三角形,且$\angle BAE = 90^{\circ}$,即$AB\perp AD$。

【变式训练2】如图,在$\triangle ABC$中,$AB的垂直平分线l交AB于点E$,交$AC于点D$,$AD = 5$,$DC = 3$,$BC = 4$,求证：$\triangle ABC$是直角三角形。

答案： #### 变式训练2
略（提示：连接 $ BD $，证明 $ BD^{2} = CD^{2} + BC^{2} $）

【例3】如图,某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形$ABCD$),经测量,在四边形$ABCD$中,$AB = 3m$,$BC = 4m$,$CD = 12m$,$DA = 13m$,$\angle B = 90^{\circ}$。小区为美化环境,欲在空地上铺草坪,已知铺草坪每平方米需花费$100$元,试问：铺满这块空地共需花费多少元？

答案： 【解析】：连接AC，在直角三角形ABC中，根据勾股定理可得AC的长度为$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5m$。在三角形ACD中，因为$AC^{2}+CD^{2}=5^{2}+12^{2}=25 + 144=169$，而$DA^{2}=13^{2}=169$，所以$AC^{2}+CD^{2}=DA^{2}$，由勾股定理的逆定理可知三角形ACD是直角三角形，且$\angle ACD = 90^{\circ}$。这块空地的面积等于三角形ABC的面积与三角形ACD的面积之和，即$S=\frac{1}{2}× AB× BC+\frac{1}{2}× AC× CD=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12 = 6 + 30=36m^{2}$。已知铺草坪每平方米需花费100元，所以铺满这块空地共需花费$36×100 = 3600$元。
【答案】：3600