《2025年课时训练七年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

26. (12分)中考新考法 新定义问题(2024·盐城盐都区期末)小明是一个聪明而又富有想象力的孩子.学习了“有理数的乘方”后,他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念.于是规定:若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方,如3÷3÷3等.类比有理数的乘方,我们把3÷3÷3记作$3_{3}$,读作“3的下3次方”.一般地,把n个a(a≠0)相除记作$a_{n}$,读作“a的下n次方”,即$a_{n}= \underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}$.
(1)直接写出计算结果;$3_{3}= $______,$(-\frac{1}{2})_{4}= $______.
(2)关于除方,下列说法正确的有______(填写序号).
①对于任何正整数n,$1_{n}= 1$;
②$a_{2}= 1(a≠0)$;
③$a_{n}＜a_{n+1}$(a是有理数,a≠0,n是正整数);
④$3_{4}= 4_{3}$;
⑤负数的下正奇数次方结果是负数,负数的下正偶数次方结果是正数.
(3)我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
例如:$2_{4}= 2÷2÷2÷2= 2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}= (\frac{1}{2})^{2}$(幂的形式).
试一试:将下列除方运算直接写成幂的形式:$(-4)_{6}= $______,$(\frac{1}{5})_{4}= $______;
(4)计算:$5_{3}÷[(-\frac{1}{3})_{4}×(-3)_{5}]-(-1)_{2024}$.

答案：
(1)$\frac{1}{3}$ 4
(2)①②⑤ [解析]①
∵$1_n$表示n个1相除，
∴$1_n=1$，故①正确；
②
∵$a_2=a÷a=1(a≠0)$，故②正确；
③
∵当a=1时，$1_n=1$，$1_{n+1}=1$(n是正整数)，
∴$1_n=1_{n+1}$，故③不正确；
④
∵$3_4=3÷3÷3÷3=\frac{1}{9}$，$4_3=4÷4÷4=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{9}≠\frac{1}{4}$，故④不正确；
⑤负数的下正奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数；负数的下正偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，故⑤正确.
综上所述，说法正确的是①②⑤.
(3)$(\frac{1}{4})^4$ $5^2$ [解析]$(-4)_6=(-4)÷(-4)÷(-4)÷(-4)÷(-4)÷(-4)=4×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=(\frac{1}{4})^4$，$(\frac{1}{5})_4=(\frac{1}{5})÷(\frac{1}{5})÷(\frac{1}{5})÷(\frac{1}{5})=\frac{1}{5}×5×5×5=5^2$.
(4)原式$=\frac{1}{5}÷[3^2×(-\frac{1}{3})^3]-1=\frac{1}{5}÷[9×(-\frac{1}{27})]-1=\frac{1}{5}÷(-\frac{1}{3})-1=\frac{1}{5}×(-3)-1=-\frac{3}{5}-1=-\frac{8}{5}$.