《2025年课时训练七年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

26. (12分)中考新考法 操作探究 小明同学学习角平分线后,借助一副三角尺的运动操作探究变化过程中的不变的量.
[操作1]如图(1)所示放置,其中∠BAC= ∠D= $90^{\circ}$,∠ABC= ∠C= $45^{\circ}$;∠DAE= $60^{\circ}$,∠E= $30^{\circ}$.分别作出∠BAD,∠CAE的平分线AM,AN,得到∠MAN= ______;
[操作2]将三角尺ABC固定,三角尺ADE绕点A以$10^{\circ}/s$的速度逆时针旋转,当AD边与AB边重合时,此时A,D,B,M在同一条直线上,作出∠CAE的平分线AN,如图(2)所示,得到∠MAN= ______;
[猜想、验证]由操作1和2,猜想图(3)中∠MAN为一固定值,其中AM,AN分别是∠BAD,∠CAE的平分线,请你结合图(3),说明猜想是否成立;
[质疑]小明同学继续操作,在操作过程中发现当旋转到如图(4)所示位置时,继续作出∠BAD,∠CAE的平分线AM,AN,通过度量发现∠MAN为另一值,求出此时∠MAN的度数;
[发现]三角尺ABC固定,三角尺ADE从图(1)位置开始绕点A以$10^{\circ}/s$的速度逆时针旋转一周的过程中,只有某一时间段∠MAN为另一值,请直接写出这一时间段的时长.

答案：
[操作1]75°　[解析]如图
(1)，
∵AM是∠BAD的平分线，∠EAD=60°，
∴∠EAM=∠MAD=$\frac{1}{2}$∠EAD=30°.
∵AN是∠CAE的平分线，
∴∠CAN=∠NAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=45°，
∴∠MAN=∠EAM+∠NAB=30°+45°=75°.[操作2]75°　[解析]如图
(2)，
∵∠CAB=90°，∠EAB=60°，
∴∠CAE=90°－60°=30°.
∵AN是∠CAE的平分线，
∴∠CAN=∠NAE=$\frac{1}{2}$∠CAE=15°，
∴∠MAN=∠MAC－∠CAN=90°－15°=75°.[猜想、验证]猜想∠MAN=75°.理由如下:如图
(3)，设∠BAE为x°，则∠BAD=∠DAE－x°=60°－x°，∠CAE=∠BAC－x°=90°－x°.
∵AM，AN是∠BAD，∠CAE的平分线，
∴∠MAB=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$(60°－x°)=30°－$\frac{1}{2}$x°，∠EAN=$\frac{1}{2}$∠CAE=$\frac{1}{2}$(90°－x°)=45°－$\frac{1}{2}$x°，
∴∠MAN=∠MAB+∠BAE+∠EAN=30°－$\frac{1}{2}$x°+x°+45°－$\frac{1}{2}$x°=75°.[质疑]如图
(4)，设∠BAE为x°，则∠BAD=∠DAE+x°=60°+x°，∠CAE=360°－∠BAC－∠BAE=360°－90°－x°=270°－x°.
∵AM，AN是∠BAD，∠CAE的平分线，
∴∠MAB=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$(60°+x°)=30°+$\frac{1}{2}$x°，∠EAN=$\frac{1}{2}$∠CAE=$\frac{1}{2}$(270°－x°)=135°－$\frac{1}{2}$x°，
∴∠MAN=∠EAB+∠EAN－∠MAB=135°－$\frac{1}{2}$x°+x°－(30°+$\frac{1}{2}$x°)=105°.[发现]由[质疑]，得∠MAN=105°.
∵105°－75°=30°，30÷10=3(s)，
∴这一时间段的时长为3 s.