《2025年课时训练七年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

24. (8分)方程思想 如图,EF//AD,AD//BC,CE平分∠BCF,∠DAC= 3∠BCF,∠ACF= $20^{\circ}$.
(1)求∠DAC的度数.
(2)求∠FEC的度数.
(3)当∠B为多少度时,∠BAC= 3∠B? 并说明此时AB与AC的位置关系.

答案：
(1)
∵CE平分∠BCF，设∠BCE=∠FCE=x，
∵∠DAC=3∠BCF，
∴∠DAC=6x.
∵AD//BC，
∴∠DAC+∠BCA=180°，
∴6x+2x+20°=180°，
∴x=20°，
∴∠DAC=120°.
(2)
∵EF//AD，
∴∠AEF=∠DAB.又AD//BC，
∴∠DAB=∠ABC，
∴∠AEF=∠ABC，
∴EF//CB，
∴∠FEC=∠BCE=20°.
(3)当∠B=30°时，∠BAC=3∠B，理由如下:
∵AD//BC，
∴∠DAB=∠B.又∠BAC=3∠B，
∴∠DAC=4∠B=120°，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=90°，
∴AB⊥AC.

25. (10分)将一副三角板放在同一平面内,使直角顶点重合于点O.
(1)如图(1),若∠AOB= $155^{\circ}$,则∠DOC= ______°,∠DOC与∠AOB的关系是______.
(2)如图(2),固定三角板BOD不动,将三角板AOC绕点O旋转到如图所示位置.
①(1)中你发现的∠DOC与∠AOB的关系是否仍然成立,请说明理由.
②如图(2),若∠BOC= $70^{\circ}$,在∠BOC内画射线OP,设∠BOP= $x^{\circ}(0 ＜ x ＜ 50)$,探究发现随着x的值的变化,图中以O为顶点的角中互余角的对数也变化. 请直接写出以O为顶点的角中互余角的对数有哪几种情况? 并写出每一种情况相应的x的取值或取值范围.

答案：
(1)25　互补　[解析]由题意可知∠AOC=∠BOD=∠AOB=155°，
∴∠COD=360°－∠AOC－∠BOD－∠AOB=25°，
∴∠AOB+∠COD=155°+25°=180°.故∠DOC与∠AOB互补.
(2)①成立.理由如下:∠DOC+∠AOB=∠AOC－∠AOD+∠DOB+∠AOD=∠AOC+∠DOB=90°+90°=180°.②
∵∠BOC=70°，
∴∠COD=20°，
∴∠AOD=70°.此时有两对角互余，分别为∠AOD和∠COD、∠BOC和∠COD.当x=35时，∠BOP=∠COP=35°，则∠BOP+∠DOP=∠COP+∠DOP=90°，此时互余的角有4对，分别为∠AOD和∠COD，∠BOC和∠COD，∠BOP和∠DOP，∠COP和∠DOP；当x=20时，∠BOC=∠AOD=∠DOP=70°，∠COD=∠BOP=20°，此时互余的角有6对，分别为∠AOD和∠COD，∠BOC和∠COD，∠DOP和∠COD，∠AOD和∠BOP，∠BOC和∠BOP，∠DOP和∠BOP；当0＜x＜50且x≠35和20时，此时互余的角有3对，分别为∠AOD和∠COD，∠BOC和∠COD，∠BOP和∠DOP.