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24. (8分)中考新考法 过程纠错改错 如图,小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图.拼完后,小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题.
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题,若有多余部分,则把图中多余部分涂黑;若还缺少,则直接在原图中补全;
(2)若图中的正方形边长为2cm,长方形的长为3cm,宽为2cm,求出修正后所折叠而成的长方体的体积.
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题,若有多余部分,则把图中多余部分涂黑;若还缺少,则直接在原图中补全;
(2)若图中的正方形边长为2cm,长方形的长为3cm,宽为2cm,求出修正后所折叠而成的长方体的体积.
答案：
(1)拼图存在问题,有多余部分,如图:
(2)由题意,得围成的长方体长、宽、高分别为3 cm,2 cm,2 cm,
∴长方体的体积为2×2×3=12(cm³).
(1)拼图存在问题,有多余部分,如图:
(2)由题意,得围成的长方体长、宽、高分别为3 cm,2 cm,2 cm,
∴长方体的体积为2×2×3=12(cm³).
25. (10分)数学文化 欧拉公式 欧拉为世界著名的数学家、自然科学家,他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究,发现多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在一定的数量关系,给出了著名的欧拉公式.
请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题:
(1)根据上面多面体模型,完成表格中的空格:
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是______.
(2)一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱,则这个多面体的面数是______.
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体外表三角形的个数为x,八边形的个数为y,求$x + y$的值.
请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题:
(1)根据上面多面体模型,完成表格中的空格:
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是______.
(2)一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱,则这个多面体的面数是______.
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体外表三角形的个数为x,八边形的个数为y,求$x + y$的值.
答案：
(1)表格补充如下:
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
V+F - E=2
(2)20 [解析]由题意,得F - 8+F - 30=2,解得F=20.
(3)
∵有24个顶点,每个顶点处都有3条棱,两点确定一条直线,
∴共有24×3÷2=36(条)棱.
由
(1)可知,24+F - 36=2,解得F=14,
∴x+y=14.
x+y为该多面体的总面数
素养导向 本题以著名的欧拉公式为背景,把现实中抽象的多面体物体进行数学建模转化为数学知识来理解,主要培养学生的模型观念.
(1)表格补充如下:
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
V+F - E=2
(2)20 [解析]由题意,得F - 8+F - 30=2,解得F=20.
(3)
∵有24个顶点,每个顶点处都有3条棱,两点确定一条直线,
∴共有24×3÷2=36(条)棱.
由
(1)可知,24+F - 36=2,解得F=14,
∴x+y=14.
x+y为该多面体的总面数
素养导向 本题以著名的欧拉公式为背景,把现实中抽象的多面体物体进行数学建模转化为数学知识来理解,主要培养学生的模型观念.
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